如何在 Mathematica 的一个列表中组合所有解决方案？

Question

使用 Mathematica 中的Solve 函数，我们可能会得到几种解决方案，例如

    In[1]:= Solve[x == 1 &&  2 >= y >= 1, {x, y}, Integers]
    Out[1]= {{x -> 1, y -> 1}, {x -> 1, y -> 2}}

如果有几十个解决方案，上面的列表会很混乱。 现在我想用这样的列表只列出 x 和 y 的所有可能值

    {x->1, y->1,2}

有没有简单的方法来重新格式化解决方案的输出？

另一个问题，如何使用解决方案中的值？

    In[1]:= Solve[x == 1,{x}]
    Out[1]= {x -> 1}
    In[2]:= x
    Out[2]= x
    In[3]:= Definition[x]
    Out[3]= Null
    In[4]:= ?x
            Global`x

Answer 1

对于您的第一个问题，您可能会使用：

vars = {x, y};

sols = Solve[x == 1 && 2 >= y >= 1, vars, Integers];

Thread[ vars -> Union /@ (vars /. sols) ]

{x -> {1}, y -> {1, 2}}

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第二个问题请见this answer。

最方便：

sols = Solve[x^2 + a x + 1 == 0, x]

MapIndexed[(gg[#2[[1]]][a_] := #) &, x /. sols];

这将分配给符号gg。
然后将该函数与语法gg[1][17] 一起使用来表示第一个解决方案，并使用a == 17:

Plot[gg[1][a], {a, 1, 4}]

gg[2] /@ {1, 2, 3}

{1/2 (-1 + I Sqrt[3]), -1, 1/2 (-3 + Sqrt[5])}

Answer 2

列表遵循 Mathematica 规则的模式，因此列表替换是从此类列表中获取值的最简单方法。

让我们调用解决方案列表sol：

In[3]:= sol = Solve[x == 1 && 2 >= y >= 1, {x, y}, Integers]
Out[3]= {{x -> 1, y -> 1}, {x -> 1, y -> 2}}

现在取符号x，并根据sol将x的所有替换列表视为规则列表：

In[4]:= x /. sol
Out[4]= {1, 1}

这立即让您了解如何从所有解决方案中获取x 的所有不同值：

In[5]:= Union[x /. sol]
Out[5]= {1}

y 同上，尽管所有解决方案都已经不同：

In[6]:= Union[y /. sol]
Out[6]= {1, 2}

以下是上述复制和粘贴步骤的完整代码：

sol = Solve[x == 1 && 2 >= y >= 1, {x, y}, Integers]
x /. sol
Union[x /. sol]
Union[y /. sol]
Clear[sol]

Answer 3

您可以使用ReplaceAll或其缩写形式/.将Solve返回的规则转换为列表，如下所示

Solve[x == 1 && 2 >= y >= 1, {x, y}, Integers] /.  Rule[a_, b_] -> b  

这会产生一个列表列表：{{1, 1}, {1, 2}}。要获得所需格式的结果，您可以通过一个函数传递此列表，该函数接受一对{a,b} 并返回{x->a,y->b}。像

这样的函数

  {x -> #[[1]], y -> #[[2]]} &

确实进行了这种转换。结合两个步骤

 solutionlist = (Solve[x == 1 && 2 >= y >= 1, {x, y}, Integers] /. 
       Rule[a_, b_] -> b ) // {x -> #[[1]], y -> #[[2]]} &

生产

 {x -> {1, 1}, y -> {1, 2}}

你的例子。

要使用解决方案中的值，您可以使用

{xlist, ylist} = {x, y} /. solutionlist

检查

 ?xlist

给予

编辑：要删除重复项，请将函数 {x -> #[[1]], y -> #[[2]]} & 更改为

 {x -> Union@#[[1]], y -> Union@#[[2]]} &