MATLAB：求解线性等式系统，同时将某些值约束为正

Question

paper I'm reading 包含以下定理。

我编写了一些 MATLAB 代码来尝试重现本文后面出现的结果，最初它似乎运行良好。

M = 6;

Sigma = [1 .5 .15 .15 0 0;
 .5 1 .15 .15 0 0;
 .15 .15 1 .25 0 0;
 .15 .15 .25 1 0 0;
 0 0 0 0 1 .1;
 0 0 0 0 .1 1];

Delta = [0 0 .2 .2 .5 .5]';

cov_vect = [.3 .3 .35 .35 .25 .25];

u = ones(M,1);

lastcol = [u' 0];

First = Sigma+(Delta*Delta');
First(M+1,:) = u;
First(:,M+1) = lastcol;

Third = [cov_vect 1]';

X = linsolve(First,Third);

此代码创建的结果与论文中的结果相匹配。

我想将我的代码与其他数据集一起使用，但是当我尝试这样做时遇到了问题。 M、Sigma、Delta 和 cov_vect 会因数据集而异，但其余代码应保持不变。

当我在新数据集上使用我的代码时，尽管向量 w 总和为 1（应该如此），但它有时包含负值。根据该论文，这不应该发生。 lambda 可以为负数，但 w 向量中的任何值都不能为负数。

如何让 MATLAB 约束结果，使 w 中的所有值都必须为正，同时保持向量 w 总和为 1 的要求？

Answer 1

您的问题似乎引用了this paper。

您引用的定理 2 是以下优化问题的解决方案（请参阅错误/错字部分，我必须至少进行一次更正）。

minimize (over w)  w' * (Sigma + delta * delta') * w - 2 * cov_vect' * w

                                      subject to:  w'*ones(n, 1) = 1

这可以使用 Matlab 函数 quadprog 解决：

H = 2 * (Sigma + delta * Delta');  % see quadprog docs, it solves 1/2 so we need 2
f = - 2 * cov_vect;
A = [];
b = [];
Aeq = ones(1,6);
beq = 1;
w = quadprog(H, f, A, b, Aeq, beq);

您可以添加 0 的下限约束：

lb = zeros(6, 1);
ub = [];
w2 = quadprog(H, f, A, b, Aeq, beq, lb, ub);

如何在CVX 中解决这个问题（很棒的优化包）

cvx_begin
variables y(n);
minimize(y' * (Sigma + Delta * Delta') * y - 2 * cov_vect * y)
subject to:
   y'*ones(n,1) == 1;
   y >= 0;
cvx_end

链接到cvx。

researchgate 上发表的论文附录中的错字：

（错别字）他们对定理 2 的证明省略了目标函数的第 2*cov_vect' * w 项中的2*w。 The minimization problem should be:

minimize (over w)  w' * (Sigma + delta * delta') * w - 2*cov_vect' * w

这确实给出了解决方案：

0.1596    0.1596    0.2090    0.2090    0.1314    0.1314

或等效：

minimize (over w)  .5 * w' * (Sigma + delta * delta') * w - cov_vect' * w