在集合上生成可逆排列

Question

我想以非顺序方式遍历集合 Q = [0, 2^16) 中的所有元素。为此，我需要一个函数 f(x) Q --> Q，它给出了对集合进行排序的顺序。例如：

f(0) = 2345   
f(1) = 4364   
f(2) = 24   
(...)

要恢复顺序，我需要反函数 f'(x) Q --> Q 输出：

f(2345) = 0
f(4364) = 1
f(24) = 2
(...)

函数必须是双射的，对于 Q 的每个元素，函数唯一地映射到 Q 的另一个元素。

我怎样才能生成这样的函数，或者是否有任何已知的函数可以做到这一点？

Answer 1

编辑：在以下答案中，f(x) 是“x 之后的内容”，而不是“x 位置的内容”。例如，如果您的第一个数字是 5，则 f(5) 是下一个元素，而不是 f(1)。回想起来，您可能认为 f(x) 是“位置 x 中的内容”。如果用作“x 位置的内容”，则此答案中定义的函数要弱得多。

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Linear congruential generators 满足您的需求。

线性同余生成器由方程定义

f(x) = a*x+c (mod m)

对于一些常量a、c 和m。在这种情况下，m = 65536。

如果以下属性成立，则 LCG 具有完整周期（您想要的属性）：

1. c 和 m 是相对质数。
2. a-1 可以被 m 的所有质因数整除。
3. 如果m 是4 的倍数，则a-1 是4 的倍数。

我们会选择a = 5、c = 1。

为了反转 LCG，我们根据 x 求解 f(x)：

x = (a^-1)*(f(x) - c) (mod m)

我们可以通过extended Euclidean algorithm 找到 5 mod 65536 的倒数，或者因为我们只需要这一计算，我们可以将其插入 Wolfram Alpha。结果是 52429。

因此，我们有

f(x) = (5*x + 1) % 65536
f^-1(x) = (52429 * (x - 1)) % 65536

Answer 2

有很多方法可以解决这个问题。

由于您的集合大小很小，因此生成函数及其逆函数的要求可以简单地通过内存查找来完成。因此，一旦您选择了排列，您就可以将正向和反向存储在查找表中。

创建排列的一种方法是映射出数组中的所有元素，然后随机交换它们“足够”的次数。 C代码：

int f[PERM_SIZE], inv_f[PERM_SIZE];
int i;

// start out with identity permutation
for (i=0; i < PERM_SIZE; ++i) {
    f[i] = i;
    inv_f[i] = i;
}

// seed your random number generator
srand(SEED);

// look "enough" times, where we choose "enough" = size of array
for (i=0; i < PERM_SIZE; ++i) {
    int j, k;
    j = rand()%PERM_SIZE;
    k = rand()%PERM_SIZE;
    swap( &f[i], &f[j] );
}

// create inverse of f
for (i=0; i < PERM_SIZE; ++i)
    inv_f[f[i]] = i;

享受