如何制作一次接受一个值的置换函数？

Question

我正在寻找一个函数，它接受区间 0,1....N 中的 1 个数字并返回同一区间中的置换值。

0、1、2、3、4、5 和 f(x) 的示例如下：

f(0)=5;
f(1)=1;
f(2)=0;
f(3)=4;
f(4)=2;
f(5)=3;

根据我的研究/理解，这是一个循环群，其中 f(x) 是它的全部基础。 如果发现函数 f(x) = 911 * x % N 是我想要的示例，但是，使用它时会出现模式。 911 是一个很大的素数，通过改变它，我得到了另一个排列，但仍然出现了模式。我希望结果是随机的。

我知道我可以使用 [ 0, 1, 2...N ].shuffle() 之类的东西预先生成排列，但就我而言，我不能这样做。

我有一项服务，它接受输入一个数值并返回置换后的值/位置。 N 设置在服务器端，我正在寻找的功能也是如此。

Answer 1

请记住，我在这里描述的算法是基于列表 [1, 2, ... N-1]（长度为 N-1）。如果您坚持使用列表 [0, 1, ..., N]（长度为 N+1），请应用所需的小修改。此外，为简洁起见，我使用 % 操作数的方式与大多数编程语言略有不同：a % b 取值介于 1 和 b 之间，而不是介于 0 和 b - 1 之间，但背后的主要思想当然没有改变，所以a % b 的值是1到b之间的整数，与a一致，取模b。

如果您仔细阅读本文，您会很明显，生成的 shuffle 根本不是随机的。然而，如果参数选择得当，模式将不容易识别，（我的模幂运算的基本思想来自密码学，其中具有不可识别的模式和不可恢复的函数很重要）。

这更像是对算法的语言无关描述，而不是实际的编程解决方案。我不会详细介绍您可能遇到的有效实现和陷阱。我希望它仍然有帮助。我还在 python 中编写了其中的一些部分，因此我可以提供进一步的帮助，甚至在需要时分享我的代码，但这需要一些完成和重构。

使用求幂而不是乘法来消除模式

您对 f(x) = t * x % N（您选择 t 为 911）的初步试验显示了一些模式，因为乘法保持线性（在它的“模块化”含义中）。

如果您使用幂运算而不是乘法运算，您可以获得更多随机的感觉。像 f(x) = t ^ x % N 之类的东西。但是，必须明智地选择 t（就像在乘法的情况下一样，成为 N 的互质数），并且这个公式给出的输出不会提供不同的仅在 N 为素数的情况下，不同 x 值的数字。

大学水平的数学即将到来，请耐心等待，我会尽量保持简单。

我们需要使用原根。相关的Wikipedia article 可能有很大帮助，但基本思想是精心选择的基数的余数取 1 到 N-1 之间的所有值。例如

3^1 = 3
3^2 = 9 = 2 (mod 7)
3^3 = 27 = 6 (mod 7)
3^4 = 81 = 4 (mod 7)
3^5 = 243 = 5 (mod 7)
3^6 = 729 = 1 (mod 7)

都是不同的（从这一点开始，值从头开始重复：3^7 = 3^1 (mod 7)、3^8 = 3^2 (mod 7)，依此类推）。

所以，如果你的 N 是 7，那么 3 就可以成为 t。对于介于 1 和 6 之间的 x 值，您可以使用 f(x) = (3 ^ x) % 7。

这导致以下 f:

f(1) = 3
f(2) = 2
f(3) = 6
f(4) = 4
f(5) = 5
f(6) = 1

引入移位，提供一些额外的随机效果

如果你稍微玩一下，你会注意到，N-1 总是被洗牌为 1。如果你想避免这种情况，我们可以更进一步，选择任意数字 k 加在后面取幂。也就是说，使用 g(x) = (f(x) + k) % (N-1) = ((t ^ x) % N + k) % (N-1)，在我们的示例中让 k 为 2，导致排列：

g(1) = 5
g(2) = 4
g(3) = 2
g(4) = 6
g(5) = 1
g(6) = 3

如何选择基地

现在你得到了基本的感觉。但是这个一般怎么用，N不是7的时候呢？

问题的关键在于选择参数 t，在我们的示例中为 3。

不幸的是，这通常是一个难题（数学家称之为finding a primitive root），而且我知道没有任何易于解释、开箱即用的解决方案。

但这只是问题的一部分。更可悲的是，如果 N 是合数，则原根甚至都不起作用。例如，如果 N=6，则表达式 t^x 以 6 取 1 到 5 之间的所有值都不存在任何数字 t。

但这部分解决起来并不难。

如何处理复合 N

如果 N 是合数，我们应该找到一个稍大一点的素数 P，并在基于该算法的算法的基础上，通过用它们的洗牌后值替换超出范围的数字（并迭代，如果需要）。

例如，如果 N 为 6，我们可以选择 P 为 7，并使用我们之前构建的 g(x)。

g(1) = 5 ok (5<=N-1 holds)                          h(1) = 5
g(2) = 4 ok                                         h(2) = 4
g(3) = 2 ok                                    =>   h(3) = 2
g(4) = 6 too large, using g(g(4)) = g(6) = 3        h(4) = 3
g(5) = 1 ok                                         h(5) = 1

为了安全起见，我再举一个 N=4 的例子，我们使用之前计算的 P=7 的解。

g(1) = 5, g(5) = 1                                  h(1) = 1
g(2) = 4, g(4) = 6, g(6) = 3                   =>   h(2) = 3
g(3) = 2                                            h(3) = 2

现在应该很清楚了。选择接近 N 的 P 是明智的，因此 g 的越界值不需要太多的重新计算。

回到寻找 t

所以我们剩下的唯一问题是找到可以用作求幂基础的原根。

如果我之前链接的页面上的数学引起了一些内心的厌恶，我有一些好消息要告诉你：t 的可能好的值在区间 [2, N-1] 中是密集的，所以即使是随机猜测也可能会有所帮助。

在链接页面上有一些详细信息如何有效地验证随机选择的 t 是否真的对我们有好处，但除非您使用非常大的数字，否则您可以进行取幂并检查数字 1 是否出现得更早比 t 的 (N-1) 次方（也许你记得我注意到 t^x=1 (mod N) 在 x=N-1 的情况下始终成立，因此 1 的早期出现会破坏唯一性）。

我建议在 N/2 附近寻找合适的 t（意味着数量级 - 对于 P=91367，t=54949 效果很好）。如果您选择 t 太低（例如 t=2），您可以很容易地发现一些相邻 x 值（2+k, 4+k, 8+k, ... 会出现在彼此）。如果 t 太接近 N，如果在相同奇偶性的连续 x 值中查看 f(x)，可能会出现类似的现象。一个好的 t 选择应该涵盖这些模式，并以足够随机的结果结束。

总结

再一次，这里是算法的步骤

（给定N个）

找到一个比 N 稍大的 P 素数

在 1 和 P-1 之间选择任意数字 k

找到 P 的原根 t

（对于给定的 x，输出 shuffle h(x) 是）

计算

f(x) = (t ^ x) % P

计算

g(x) = (f(x) + k) % (P-1)

计算

h(x) = g(x)                                       if g(x)<=N-1,
       iterate the calculations with x = g(x)     otherwise

Answer 2

这个非常相关的问题 (How to generate a predictable shuffling of a sequence without generating the whole sequence in advance?) 及其接受的答案（以及其中链接的博客文章及其参考论文）可能也很有趣，应该可以解决您的问题。

Answer 3

根据您的评论：

Function accepts 1 number =x, math happens, 1 number is returned which is a random position AND UNIQUE within the same interval where x comes from

我可能仍然不明白这个问题，但我再试一次。我希望它能给你一些线索/帮助！

<?php
$control = array();

$f = array(5,1,0,4,2,3); //Example

$x = 5; //Function accepts 1 number =x


for($n=1;$n<41;$n++) {
    echo doTheMath($control, $f, $x); //Echo just for example
}

function doTheMath(Array &$control, Array &$f, $x) {
    $n = count($f); //Interval count

    //1 number is returned 
    //AND
    //UNIQUE within the same interval where x comes from.

    while (!in_array($random = array_rand($f, 1), $control)) { //Get another random value from array-element if it's not in control-array

        if (!in_array($random, $control)) {
            $control[] = $random;

            //The are no more unique values, stop executing php
            if (count($control) == $n) {
                exit;
            }

            $result = 911 * $random * $n;
            return $result . '<hr />';
        }
    }


    return null;

}
?>

示例输出：

10932
0
21864
27330
16398