如何将大整数转换为二进制？答案

【问题标题】：How to convert large integer number to binary?如何将大整数转换为二进制？
【发布时间】：2015-09-30 06:00:19
【问题描述】：

抱歉，可能有重复的帖子，我在这里看到了许多类似的主题，但没有一个是我真正需要的。在实际发布问题之前，我想明确声明这个问题不是家庭作业。

那么问题来了：如何将一个大整数转换成二进制表示？整数足够大以适合原始类型（Java long 不能使用）。输入可以表示为字符串格式或数字数组。免责声明，这不会是生产级别的解决方案，所以我不想使用 BigInteger 类。相反，我想实现一个算法。

到目前为止，我最终采用了以下方法：以字符串表示的输入和输出值。如果输入的最后一位是偶数，我在输出前加上“0”，否则 - 加上“1”。之后，我将输入替换为输入除以 2。我使用另一种方法 - divideByTwo 进行算术除法。此过程循环运行，直到输入变为“0”或“1”。最后，我将输入添加到输出中。代码如下：

辅助方法

/**
* @param s input integer value in string representation
* @return the input divided by 2 in string representation
**/
static String divideByTwo(String s)
{
    String result = "";
    int dividend = 0;
    int quotent = 0;
    boolean dividendIsZero = false;

    while (s.length() > 0)
    {
        int i = 1;          
        dividend = Character.getNumericValue(s.charAt(0));

        while (dividend < 2 && i < s.length())
        {
            if (dividendIsZero) {result += "0";}
            dividend = Integer.parseInt(s.substring(0, ++i));
        }

        quotent = dividend / 2;
        dividend -= quotent * 2;            
        dividendIsZero = (dividend == 0);

        result += Integer.toString(quotent);
        s = s.substring(i);

        if (!dividendIsZero && s.length() != 0)
        {
            s = Integer.toString(dividend) + s;
        }
    }
    return result;      
}

主要方法

/**
* @param s the integer in string representation
* @return the binary integer in string representation
**/
static String integerToBinary(String s)
{
    if (!s.matches("[0-9]+"))
    {
        throw new IllegalArgumentException(s + " cannot be converted to integer");
    }

    String result = "";
    while (!s.equals("0") && !s.equals("1"))
    {
        int lastDigit = Character.getNumericValue(s.charAt(s.length()-1));
        result = lastDigit % 2 + result; //if last digit is even prepend 0, otherwise 1
        s = divideByTwo(s);
    }
    return (s + result).replaceAll("^0*", "");
}

如您所见，运行时间为 O(n^2)。 integerToBinary 方法的 O(n) 和循环内运行的 divideByTwo 的 O(n)。有没有办法实现更好的运行时？提前致谢！

【问题讨论】：

标签： java algorithm binary integer largenumber

【解决方案1】：

试试这个：

new BigDecimal("12345678901234567890123456789012345678901234567890").toString(2);

编辑：

为了创建一个大数字类，你可能想看看我一周前关于这个的帖子。啊，问题是你的，没关系。

不同数制之间的转换，原则上是一个重复的“除、余、乘、加”运算。我们来看一个例子：

我们希望将 123 从十进制转换为以 3 为底的数字。我们该怎么办？

Take the remainder modulo 3 - prepend this digit to the result.
Divide by 3.
If the number is bigger than 0, continue with this number at step 1

所以它看起来像这样：

123 % 3 == 0. ==> The last digit is 0.
123 / 3 == 41.
41 % 3 == 2 ==> The second last digit is 2.
41 / 3 == 13
13 % 3 == 1 ==> The third digit is 1.
13 / 3 == 4
4 % 3 == 1 ==> The fourth digit is 1 again.
4 / 3 == 1
1 % 3 == 1 ==> The fifth digit is 1.

所以，我们得到 11120 作为结果。

问题在于，为此您需要以十进制格式除以 3，如果您不以基于十进制的格式实现您的数字，通常情况并非如此（就像我在回答上面链接的最后一个问题）。

但它适用于从内部数字格式转换为任何外部格式。

那么，让我们看看我们将如何进行逆计算，从 11120（以 3 为底）到它的十进制等值。（Base 3 是任意基数的占位符，Base 10 是内部基数的占位符。）原则上，这个数字可以写成：

1 * 3^4 + 1 * 3^3 + 1*3^2 + 2*3^1 + 0*3^0

更好的方法（计算速度更快）是这样的：

((((1 * 3) + 1 )*3 + 1 )*3 + 2)*3 + 0 1 3 4 12 13 39 41 123 123

（这被称为霍纳方案，通常用于计算多项式的值。）

如果您知道如何在目标系统中表示输入基数（和数字），则可以在您正在实现的数字方案中实现这一点。

（我刚刚在我的 DecimalBigInt 类中添加了这样的计算，但您可能希望直接在内部数据结构中进行计算，而不是为每个十进制数字创建 BigNumber 类的新对象（甚至两个）输入。）

【讨论】：

非常感谢 S Harish Morampudi 的即时回答，但我不想使用 BigInteger 类。我想改为实现算法。所以，如果我对你的理解正确，并且“不同数制之间的转换原则上是一个重复的“除、余、乘、加”运算”，那么O(n^2)是较低的边界。是这样吗？

【解决方案2】：

在简单的方法中，有两种可能的方法（这里出现的所有数字都是十进制的）

按照您在问题中概述的方式，以十进制计算并在每个步骤中除以 2
以二进制工作并在每个步骤中乘以 10，例如 123 = ((1 * 10) + 2) * 10 + 3

如果您在二进制计算机上工作，方法 2 可能更容易。

请参阅 this post 以了解有关该主题的更深入讨论。

【讨论】：

【解决方案3】：

在wikipedia，据说：

对于非常大的数字，这些简单的方法效率低下，因为他们执行大量的乘法或除法，其中一个操作数很大。一个简单的分治算法更渐近有效：给定一个二进制数，除以 10^k，其中 k 的选择使得商大致等于余;然后将这些部分中的每一个都转换为十进制并且两个连接在一起。给定一个十进制数，它可以一分为二大小相同的片段，每个片段都转换为二进制，因此，第一个转换的部分乘以 10^k 并添加到第二个转换的部分，其中 k 是小数位数转换前的第二个，最不重要的部分。

我试过了，对于大于10,000位的数字，这种方法比传统方法快。

【讨论】：