如何为这个问题实现这个 O(1) 算法？答案

【问题标题】：How to implement this O(1) algorithm for this question?如何为这个问题实现这个 O(1) 算法？
【发布时间】：2011-08-10 08:29:23
【问题描述】：

我有变量 x，函数 f1(x), f2(x), .... fn(x)（n 可以达到 100 万）。这些函数的值是 1 或 0。那么，如何编写算法，可以快速提取返回 1 的函数呢？谢谢。

我在这里介绍我的。它的时间复杂度为 O(n)，效率不够。

List funHaveTrueValues = new ArrayList();

for (int i=1; i<=n; ++i){
 if (fi(x)==true){
   funHaveTrueValues.add(fi);
  }
 }
}

有人可以提出 O(1) 算法吗？谢谢！

【问题讨论】：

是什么让您认为存在 O(1) 方法？
如果只有 n 个函数，为什么要迭代 n+1 的范围？
输入是什么？这可能只是文字游戏，但如果您输入的是x，并且您的函数f1...fn 被认为是输入的一部分，那么您的算法对于所有和每个x 都是O(1)，如果fi 对于所有X 都是恒定的.
使用具有 n 个处理器的并行机器。根据给定的信息，您必须检查所有 n 个函数。

标签： performance algorithm big-o

【解决方案1】：

除非你对函数的了解比你告诉我们的多一点，否则不可能有一个 O(1) 算法。您必须至少查看每个函数的输出一次，使该问题的每个算法都在 Ω(n) 中运行。

【讨论】：

我想我可能不得不使用多线程并行计算所有函数的值，然后选择返回真值的函数。
要使用 n 个线程，您必须启动 n 个线程，这需要 O(n) 个步骤！
@kan Nitpick：您可以启动两个线程，并让每个线程启动两个线程，依此类推，每个线程的 O(log n) 步骤。 ;)

【解决方案2】：

Grover's Algorithm 可以在 O(sqrt(n)) 中完成，但它需要一台量子计算机。

【讨论】：

即使您购买了量子计算机，也不能保证该算法能够为您提供正确的结果...

【解决方案3】：

如果您可以假设每个f 是O(1)，那么对它们进行最多1.000.000 次调用仍然有一个恒定的上限。因此，如果您将其限制为 1.000.000 次调用，我相信您的草图方法是 O(1)。

编辑

由于我对此有一些反对意见，因此我试图澄清其中的原因。鉴于手头的信息，没有比评估所有f 更快的方法来解决这个问题。如果问题真的是“是否有更快/更聪明的方法来做到这一点？”那么答案是（正如许多人回答的那样）没有。

如果问题的风格是“我在复杂性理论测试中得到了这个问题”（或类似的），那么它可能是一个“陷阱！”。这就是我的答案所针对的情况。在广义问题（使用n 函数，没有限制）中，时间复杂度为O(n)，允许每个函数的行为类似于O(1)oracle。通过引入 1.000.000 个函数的屋顶，时间复杂度得到一个恒定的上限 O(1000000 * 1) = O(1)。

【讨论】：

这太荒谬了。我有一个 O(N!) 算法，但是因为我在 32 位机器上运行它，所以我的算法实际上仅限于 N
+1 来自我：我正要更新我的答案以提出这个建议！
哦，来吧，你做了渐近分析，依赖一个变量（这里：N）。在 N 中，算法是 O(N)。如果您限制 N，您的程序将在 O(1) 内完成，但这不会改变算法本身是 O(N) 的事实。你说的是任何东西（不是无限循环）在 PC 上都是 O(1)，因为基本类型是有限的，如果不是，那么内存是有限的。
@yi_H：是的，在一般情况下（出于实际目的）你是正确的 - 如果 OP 没有说明上限，我不会回答这个问题。我们不知道这个问题是实用的还是复杂的技术问题。
+1 表示对愚蠢问题的愚蠢回答 :-) 这是实现提问者期望的 O(1) 的唯一方法（嗯，与其说是“实现”不如说是“狡猾的措辞” ")，所以如果答案是不可接受的，那只是因为这个问题是不可能的。为提问者提供不准确地讨论术语的权利 - 因为 n 在问题中是有界的，所以 O(n) 并不意味着提问者认为它的意思。

【解决方案4】：

如果 x 确实发生了变化，您无论如何都需要评估每个函数，所以它仍然是 O(n)。但是，您可能会确定哪个 x 的结果可能是 0 或 1（如果可能得到类似：x <= y always results in 0, x > y is always 1）并存储这些阈值。然后，您只需评估一次函数，然后只需根据计算的阈值检查 x。请注意，这在很大程度上取决于您的 fn(x) 的实际作用。

因此，像 O(1) 这样的事情的关键可能是缓存，只要 fn(x) 结果可以通过合理的努力进行缓存。

【讨论】：

【解决方案5】：

您必须对每个函数至少评估一次，并且有 n 函数。因此，您不能比O(n) 做得更好（当然，除非您预先计算所有可能输入的输出并将其存储在表中！）。

【讨论】：

【解决方案6】：

这是不可能的，无论如何你必须为所有 n 个元素运行你的函数，这意味着 n 个函数

【讨论】：