如何有效地比较两组无序向量（`np.ndarray`）？

Question

我试图让我的问题更清楚。在这最后还能找到老题外话。

问题：我有一个n x 3 矩阵A (np.ndarray) 的n 点在三个维度上。如果这些点作为无序集是静止的，则我们说这些点相对于变换R（3 x 3 矩阵）是对称的。

这意味着 A 和 A @ R.T 相差 1. 最多一个排列和 2. 校正排列后，两个矩阵可能会因数值容差参数而有所不同：np.allclose(A, permuted(A @ R.T)) == True（我不知道@987654329事先@，这肯定取决于R)。

问题：如何创建以下函数：

def is_symmetric(A, R, atol=1e-5) -> bool:
    # checks symmetry as defined above, considering both numerical noise
    # and permutation of vectors.

（关于可能的方法的一些讨论以及我的怀疑和尝试在下面找到。）

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老题外话：

我想检查点集合中的对称性，表示为向量。这意味着检查这些点在空间中矩阵变换的应用（例如旋转或平面镜像）是否是不变的。

import numpy as np
R = np.array([[0, -1, 0],  # 90° rotation around z as an example
              [1,  0, 0],
              [0,  0, 1]])

重点是我接受向量的排列：只要将某个初始位置转换为其他某个预先存在的位置，我就可以了。这意味着检查从一个到另一个转换的向量对。

朴素的解决方案将遍历A @ R.T 的行（其中A 是一个矩阵，其行是点位置）并尝试为@ 的每个初始行匹配一个变换向量987654335@，它似乎随着列数呈二次方增长。

另一种可能性是对向量进行预排序（例如，通过它们的坐标值）：

A = np.array([[1,   0,   0],  # some points
              [0,   1,   0],
              [0,   0,   1],
              [0.5, 0.5, 0]])
A = np.array(sorted(A, key=lambda v: (v[2], v[1], v[0])))  # sort by z, y, x values
# array([[1. , 0. , 0. ],
#        [0.5, 0.5, 0. ],
#        [0. , 1. , 0. ],
#        [0. , 0. , 1. ]])

A_rotated = np.array(sorted(A @ R.T, key=lambda v: (v[2], v[1], v[0])))
# array([[-1. ,  0. ,  0. ],   # no match
#        [-0.5,  0.5,  0. ],   # no match
#        [ 0. ,  1. ,  0. ],   # match
#        [ 0. ,  0. ,  1. ]])  # match

（这种方法有两种方法，所以 O(n ln(n))？） 第三个想法是比较从原始向量和旋转向量创建的集合。我有一种直觉，这和比较排序的向量一样好。

但还有一件事：如何处理近似比较？我想接受两个向量 v 和 w 相等，如果例如np.allclose(v, w) == True 或同等名称（即abs(v - w) < eps 或类似名称）：

np.allclose([1, 0, 0], [1, 0, 0])
# True
np.allclose([1, 0, 0], [1 + 1e-5, 0, 0], atol=1e-5)
# True
np.allclose([1, 0, 0], [1 + 1e-4, 0, 0], atol=1e-5)
# False

那么问题来了：我如何（有效地）比较两组（无序）向量的相等性，同时考虑数值近似（例如np.allclose）？

Answer 1

这很简单，您将向量的所有值（<atol）转换为 0。您可以使用 numpy.vectorize 执行此操作，查找文档 here。

import numpy as np

def transform(x, atol):
    if x>0 and x-1<atol:
        return 1
    else:
        return x

myarray = np.array([[1, 0, 0], [1 + 1e-4, 0, 0]])
vf = np.vectorize(transform)
new_array = vf(myarray, atol=1e-5)

现在您可以进行对称验证了。

如果我回答了你的问题，请告诉我。

更新

我看到你在numpy 中已经有了函数isclose()，你应该使用它，而不是从头开始使用我的函数。

尽管如此，我不会删除我的答案，以保持与它相关的 cmets。

Answer 2

这是一个使用np.lexsort 工作的函数：

def is_symmetric(A, R, *args, **kwargs):
    A = np.asanyarray(A)
    A = A[np.lexsort(A.T)]

    A_t = A @ np.asanyarray(R).T
    A_t = A_t[np.lexsort(A_t.T)]
    return np.allclose(A, A_t, *args, **kwargs)

一些结果：

R = np.array([[0, -1, 0],  # 90° rotation as an example
              [1,  0, 0],
              [0,  0, 1]])

is_symmetric([[0, 0, 0]], R)
# True
is_symmetric([[1, 0, 0],
              [0, 1, 0],
              [0, 0, 0]], R)
# False
is_symmetric([[1, 0, 0],
              [0, 1, 0],
              [0, 0, 0],
              [-1, 0, 0]], R)
# False
is_symmetric([[1, 0, 0],
              [0, 1, 0],
              [0, 0, 0],
              [-1, 0, 0],
              [0, -1, 0]], R)
# True

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100000 个随机向量的性能似乎还不错：

A = np.random.rand(100000, 3)
%timeit is_symmetric(A, R)
# 82.2 ms ± 75.4 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10 loops each)