Octave / Matlab：Frobenius内积的有效计算？答案

【问题标题】：Octave/Matlab: Efficient calc of Frobenius inner product?Octave / Matlab：Frobenius内积的有效计算？
【发布时间】：2011-11-07 00:44:02
【问题描述】：

我有两个矩阵 A 和 B，我想要得到的是：

trace(A*B)

如果我没记错的话，这叫做Frobenius inner product。

我关心的是效率。我只是担心这种直截了当的方法会首先进行整个乘法（我的矩阵是数千行/列），然后才对产品进行跟踪，而我真正需要的操作要简单得多。有没有一种函数或语法可以有效地做到这一点？

【问题讨论】：

标签： matlab matrix octave

【解决方案1】：

正确...对元素乘积求和会更快：

n = 1000

A = randn(n);
B = randn(n);

tic
sum(sum(A .* B));
toc

tic
sum(diag(A * B'));
toc

Elapsed time is 0.010015 seconds.
Elapsed time is 0.130514 seconds.

【讨论】：

@izhak - 一个更好的解决方案使用矢量产品。请参阅 my answer 以及运行时间。

【解决方案2】：

sum(sum(A.*B)) 避免进行全矩阵乘法

【讨论】：

【解决方案3】：

用向量乘法怎么样？

(A(:)')*B(:)

运行时间检查

比较大小为 1000×1000 的 A 和 B 的四个选项：
1.向量内积：A(:)'*B(:)（这个答案）只取了0.0011 sec。
2. 使用元素乘法sum(sum(A.*B))（John 的答案）取了0.0035 sec。
3. Trace trace(A*B')（由OP提议）占用0.054 sec。
4. 对角线sum(diag(A*B')) 的总和（被John 拒绝的选项）占0.055 sec。

重要信息：Matlab 在矩阵/向量积方面非常高效。使用向量内积比高效的逐元素乘法解决方案快 x3 倍。

基准代码 用于提供运行时检查的代码

t=zeros(1,4);
n=1000; % size of matrices
it=100; % average results over XX trails
for ii=1:it, 
    % random inputs
    A=rand(n);
    B=rand(n); 
    % John's rejected solution
    tic; 
    n1=sum(diag(A*B'));
    t(1)=t(1)+toc;
    % element-wise solution
    tic;
    n2=sum(sum(A.*B));
    t(2)=t(2)+toc;
    % MOST efficient solution - using vector product
    tic;
    n3=A(:)'*B(:);
    t(3)=t(3)+toc;
    % using trace
    tic;
    n4=trace(A*B');
    t(4)=t(4)+toc;
    % make sure everything is correct
    assert(abs(n1-n2)<1e-8 && abs(n3-n4)<1e-8 && abs(n1-n4)<1e-8);
end;
t./it

您现在可以在 click 中运行此基准测试。

【讨论】：