在 GNU Octave 中，矩阵除法是如何工作的？
而不是做
1./[1;1]
不小心弄到了
1/[1;1]
令我惊讶的是，这会产生：
[0.5, 0.5]
横向案例：
1/[1,1]
给出预期：
error: operator /: nonconformant arguments (op1 is 1x1, op2 is 1x2)
有人能解释一下 [0.5, 0.5] 的结果吗？
【问题讨论】：
标签： octave division matrix-multiplication
考虑以下示例：
>> A = [5 10];
>> B = [2 2];
如果要按元素除法，请使用 A ./ B 且两个元素的矩阵大小相等，即如果 A 的大小为 m∗n B 的大小必须为 m∗n
>> A ./B
ans =
2.5000 5.0000
如果要矩阵除法，请使用 A / B，其中元素 A 的矩阵大小为 m∗n，B 为 q∗n 或 m∗n。 / 运算符试图返回 x∗y−1（即 x * pinv(y) 以八度音阶格式）。
>> A / B
ans = 3.7500
与
相同>> A * pinv(B)
ans = 3.7500
pinv() 函数返回矩阵的 Moore-Penrose 伪逆矩阵，而 inv() 函数返回矩阵的逆矩阵。 如果您对使用什么感到困惑，请使用 pinv() 如果您想进一步澄清What is the difference between pinv and inv?
【讨论】：
这是我在 coursera 机器学习课程讨论论坛上从 Alan Boulton 那里得到的答案：
这个想法的要点是 x / y 的定义相当普遍，以便它可以处理矩阵。从概念上讲，/ 运算符试图返回 x∗y−1（或 Octave-speak 中的 x * inv(y)），如下例所示：
octave:1> eye(2)/[1 2;3 4]
ans =
-2.00000 1.00000
1.50000 -0.50000
octave:2> inv([1 2;3 4])
ans =
-2.00000 1.00000
1.50000 -0.50000
当 y 是列向量时会发生棘手的情况，在这种情况下 inv(y) 是未定义的，因此使用 y 的伪逆 pinv(y)。
octave:1> pinv([1;2])
ans =
0.20000 0.40000
octave:2> 1/[1;2]
ans =
0.20000 0.40000
向量 y 需要与 x 兼容，以便 x * pinv(y) 是明确定义的。所以如果 y 是一个行向量就可以了，只要 x 是兼容的。请参阅以下 Octave 会话以获取说明：
octave:18> pinv([1 2])
ans =
0.20000
0.40000
octave:19> 1/[1 2]
error: operator /: nonconformant arguments (op1 is 1x1, op2 is 1x2)
octave:19> eye(2)/[1 2]
ans =
0.20000
0.40000
octave:20> eye(2)/[1;2]
error: operator /: nonconformant arguments (op1 is 2x2, op2 is 2x1)
octave:20> 1/[1;2]
ans =
0.20000 0.40000
【讨论】：
从这里开始对 Octave Matrix Division 的正式描述
http://www.gnu.org/software/octave/doc/interpreter/Arithmetic-Ops.html
x / y
Right division. This is conceptually equivalent to the expression
(inverse (y') * x')'
But it is computed without forming the inverse of y'.
If the system is not square, or if the coefficient matrix is
singular, a minimum norm solution is computed.
这意味着这两个应该是相同的：
[3 4]/[4 5; 6 7]
ans =
1.50000 -0.50000
(inverse([4 5; 6 7]') * [3 4]')'
ans =
1.50000 -0.50000
首先要明白 Octave 矩阵除法不可交换，就像矩阵乘法不可交换一样。
这意味着 A / B 不等于 B / A
1/[1;1]
ans =
0.50000 0.50000
[1;1]/1
ans =
1
1
一除以单值矩阵一为一：
1/[1]
ans = 1
一除以单值三的矩阵等于 0.33333：
1/[3]
ans = .33333
一除以 (1x2) 矩阵：
1/[1;1]
ans =
0.50000 0.50000
Equivalent:
([1/2;1/2] * 1)'
ans =
0.50000 0.50000
请注意上面的说明，如说明所述，我们采用向量的范数。所以你会看到[1;1] 是如何变成[1/2; 1/2] 的。 '2' 来自向量的长度，1 来自提供的向量。我们再做一次：
一除以 (1x3) 矩阵：
1/[1;1;1]
ans =
0.33333 0.33333 0.33333
等效：
([1/3;1/3;1/3] * 1)'
ans =
0.33333 0.33333 0.33333
如果其中一个元素为负数怎么办……
1/[1;1;-1]
ans =
0.33333 0.33333 -0.33333
等效：
([1/3;1/3;-1/3] * 1)'
ans =
0.33333 0.33333 -0.33333
所以现在您对不提供方阵时 Octave 的作用有了大致的了解。要了解 Octave 矩阵除法在传递方阵时的作用，您需要了解反函数的作用。
我一直在手动标准化你的向量，如果你想要 octave 来做它们，你可以添加包来这样做，我认为下面的包将做我一直在做的向量标准化：
http://octave.sourceforge.net/geometry/function/normalizeVector.html
所以现在您可以将除法转换为等价的乘法。阅读这篇关于矩阵乘法如何工作的文章，您可以回溯并找出矩阵除法背后发生的事情。
【讨论】：