如何在 RSA 加密的上下文中计算数字的模乘逆？答案

【问题标题】：How to calculate the Modular Multiplicative inverse of a number in the context of RSA encryption?如何在 RSA 加密的上下文中计算数字的模乘逆？
【发布时间】：2010-07-27 14:41:10
【问题描述】：

如何在RSA加密的上下文中计算一个数的模乘逆？

【问题讨论】：

标签： security math cryptography rsa

【解决方案1】：

使用Extended Euclidean Algorithm，这在实践中比直接模幂运算要快得多。

【讨论】：

【解决方案2】：

直接模幂运算

直接模幂方法，作为扩展欧几里得算法的替代方法，如下：

来源：http://en.wikipedia.org/wiki/Modular_multiplicative_inverse

【讨论】：

这个方法需要你取反的组的顺序。对于 RSA，您通常不知道这一点。
如果模数是素数，你就知道了——它是 P-1。对于密钥生成时的 RSA 密钥，您可能也知道 (P-1)*(Q-1)。一旦创建了密钥对，模数的因式分解就被丢弃了，因为知道组的顺序是创建密钥对所必需的，并且相当于找到私钥。
由于在RSA中，要找到私钥需要求e (mod φ(n))的逆，使用这种方法需要计算φ(φ(n))，相当于分解φ(n)。所以，@abc 是对的：你不能使用这个方法；之前我什至没有想到这一点。
如果 RSA 素数是安全素数，则很容易计算 phi(phi(n))。请参阅我对stackoverflow.com/questions/3209665/… 的评论。但是想想和修改它很有趣，扩展的欧几里得算法总是运行得很快。

【解决方案3】：

Modular multiplicative inverse Wikipedia 文章中详细解释了两种算法。

【讨论】：

【解决方案4】：

如果你需要为 DSA 算法计算 w，你可以使用这个：

w = s^-1 mod q

其实是

w = s^(q-2) mod q

见：http://en.wikipedia.org/wiki/Modular_multiplicative_inverse#Using_Euler.27s_theorem

【讨论】：

【解决方案5】：

我算出了一个更简单的反函数

def privateExponent(p,q,e):
    totient=(p-1)*(q-1)
    for k in range(1,e):
        if (totient*k+1) % e==0:
            return (totient*k+1)/e
    return -1 # shouldnt get here

方程 d*e=1 (mod totient) 可以重写为 d*e=1+k*totient (对于 k 的某个值)，程序只搜索 k 的第一个值，这使得方程可以被e（公共指数）。如果 e 很小（通常推荐），这将起作用。

我们可以将所有 bignum 操作移出循环以提高其性能。

def privateExponent(p,q,e):
    totient=(p-1)*(q-1)
    t_mod_e=totient % e
    k=0
    total=1
    while total!=0:
        k+=1
        total=(total+t_mod_e) % e
    return (k*totient+1)/e

事实证明，对于 e=3，我们真的不需要搜索，因为答案总是 2*((p-1)*(q-1)+1)/3

【讨论】：