你能帮我理解浮点数学中的“有效数字”是什么意思吗？

Question

对于我正在学习的内容，一旦我将浮点值转换为十进制值，我需要的“有效数字”就是一个固定数字（例如，17 表示双精度数）。总计 17 个：小数点前后分隔符。

例如这段代码：

typedef std::numeric_limits<double> dbl;

int main()
{
    std::cout.precision(dbl::max_digits10);
    //std::cout << std::fixed;    

    double value1 = 1.2345678912345678912345;
    double value2 = 123.45678912345678912345;
    double value3 = 123456789123.45678912345;

    std::cout << value1 << std::endl;
    std::cout << value2 << std::endl;
    std::cout << value3 << std::endl;
}

将正确“显示”17 个值：

1.2345678912345679
123.45678912345679
123456789123.45679

但如果我提高cout（即std::cout.precision(100)）的精度，我可以看到17 范围之后还有其他数字：

1.2345678912345678934769921397673897445201873779296875
123.456789123456786683163954876363277435302734375
123456789123.456787109375

为什么要忽略它们？它们也存储在 variables/double 中，因此它们稍后会影响整个“数学”（除法、乘法、求和等）。

“有效数字”是什么意思？还有其他...

Answer 1

你能帮我理解浮点数学中的“有效数字”是什么意思吗？

对于 FP 数字，就像数学实数一样，有效数字是不以 0 开头的值的前导数字，然后根据上下文，到 1) 小数点， 2) 最后一个非零数字，或 3) 最后打印的数字。

123.         // 3 significant decimal digits
123.125      // 6 significant decimal digits
0.0078125    // 5 significant decimal digits
0x0.00123p45 // 3 significant hexadecimal digits
123000.0     // 3, 6, or 7 significant decimal digits depending on context

当关注十进制有效数字和像double这样的FP类型时。问题通常是“需要或关注多少十进制有效数字？”

几乎所有 C FP 实现都使用 二进制 编码，因此所有有限 FP 都是 精确 2 的幂和。每个有限 FP 精确。通用编码使大多数double 有 53 个二进制数字是有效位 - 所以 53 有效二进制数字。这如何显示为小数通常是混乱的根源。

// Example 0.1 is not an exact sum of powers of 2 so a nearby value is used.
double x = 0.1;
// x takes on the exact value of 
// 0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625
// aka 0x1.999999999999ap-4
// aka base2: 0.000110011001100110011001100110011001100110011001100110011010
// The preceding and subsequent doubles
// 0.09999999999999999167332731531132594682276248931884765625
// 0.10000000000000001942890293094023945741355419158935546875
//   123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

从上面可以看出，x 有超过 50 个十进制有效数字。然而，该值与预期的 0.1 到 16 个 十进制有效数字 匹配。或者由于前面和后面可能的 double 值在 17 位上不同，所以可以说 x 有 17 个十进制有效数字。

“有效数字”是什么意思？

存在有效数字的各种含义，但对于C，2个常见的含义是：

1. double 的文本值按预期为所有double 转换的十进制有效数字的数量。通常为 15。C 将其指定为 DBL_DIG，并且必须至少为 10。

2. 需要打印文本值double 以区别于另一个double 的十进制有效数字的数量。通常为 17。C 将其指定为 DBL_DECIMAL_DIG，并且必须至少为 10。

为什么要忽略它们？

这取决于编码目标。很少需要所有数字的确切值。 （DBL_TRUE_MIN 可能有 752 个。）对于大多数应用程序，DBL_DECIMAL_DIG 就足够了。在某些应用程序中，DBL_DIG 可以。所以通常，忽略超过 17 的数字不会导致问题。

Answer 2

请记住，浮点值不是实数。值之间存在差距，所有这些额外的数字虽然对实数有意义，但并不反映浮点值的任何差异。将浮点值转换为文本时，std::numeric_limits<...>::max_digits10 数字确保您可以将文本字符串转换回浮点并获取原始值。多余的数字不影响结果。

当您要求更多数字时看到的额外数字是转换算法尝试执行您所要求的结果的结果。该算法通常只是不断提取数字，直到达到所需的精度。它可以在写入max_digits10 digits 后开始输出零，但这是一个没有人关心的额外复杂性。这真的没有帮助。

Answer 3

只是为了添加 Pete Becker 的答案，我认为您将找到二进制尾数的精确十进制表示的问题与以下问题混淆了找到一些十进制表示唯一表示二进制尾数（给定一些固定的舍入方案）。

现在，关于第一个问题，您总是需要有限数量的十进制数字来精确表示二进制尾数（因为 2 除以 10）。

例如，您需要 18 位十进制数字准确表示二进制 1.0000000000000001，即十进制的 1.00000762939453125。

但您只需要 17 位数字即可将其唯一地表示为 1.0000076293945312，因为没有其他数字具有精确值 1.0000076293945312xyz... 其中 01.0000076293945314720446049250313080847263336181640625 和 1.0000076293945310279553950749686919152736663818359375 )。

当然，这不是意味着给定一些十进制数字，您可以忽略 17 位之后的所有数字；这只是意味着，如果您应用用于在第 17 位产生小数的相同舍入方案并将其分配回双精度数，您将得到相同的原始双精度数。