Javascript浮点数混淆

Question

我遇到了一个有些困惑的操作。

var a = 0.1;
var b = 0.2;
var c = 0.3;

console.log(a); // 0.1
console.log(b); // 0.2
console.log(c); // 0.3

但是，

consolo.log(a+b+c) // 0.6000000000000001.

虽然

console.log(a+(b+c)) // 0.6

我知道 Javascript 使用二进制浮点，因此不能准确表示 0.1、0.2、0.3 但是（b + c）周围的括号是什么。这里有任何转换或四舍五入吗？

非常感谢，

Answer 1

如何定义 JavaScript 数字

JavaScript 数字用IEEE754 表示，它是双精度二进制浮点 (binary64)，它是科学计数法，以 2 为基数。一个数有64位，分为3部分（从高位到低位）：

• 第一位是符号：0 - 正数； 1 - 否定
• 接下来的 11 位是指数部分
• 最后 52 位用于尾数/小数

因此，浮点数计算为：(-1) ^ sign * (2 ^ exponent) * significand

注意：由于科学计数法的指数部分可以是正数或负数，所以二进制64数的实际指数值应通过减去指数偏差（即 11 位指数值的中间值 1023)。

标准中还定义了有效数字值在[1, 2).之间，因为有效数字部分的第一个数字总是1，所以在上图中是隐含的，没有给出。所以，基本上有效数部分实际上是53位精度，上图中红色部分只是尾数或小数部分。

二进制64格式的0.1、0.2和0.3

根据标准，不难找到 binary64 格式的 0.1、0.2 和 0.3（您可以手动计算，也可以通过此工具计算 http://bartaz.github.io/ieee754-visualization/）：

0.1

0 01111111011 1001100110011001100110011001100110011001100110011010

科学记数法是

1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010 * 2e-4

注意：有效数字部分为二进制格式，以下数字格式相同

0.2

0  01111111100 1001100110011001100110011001100110011001100110011010

科学记数法是

1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010 * 2e-3

0.3

0 01111111101 0011001100110011001100110011001100110011001100110011

科学记数法是

1.0011001100110011001100110011001100110011001100110011 * 2e-2

将 2 个 binary64 数字相加的步骤

第 1 步 - 对齐指数

• 移动具有较小指数的数字的有效数字
• 有效位右移
• 对于每个有效位数移位将指数增加 1，直到两个指数相同
• 移位后，有效数字应向上舍入。

第 2 步 - 将有效数字相加

• 如果相加后的有效位不满足[1,2) 要求，则将其移至该范围并更改指数

• 移位后，有效数字应向上取整。

0.1 + 0.2 + 0.3 == 0.6000000000000001

如上所述，0.1 有指数-4，0.2 有指数-3，所以需要先做指数对齐：

将0.1 移出

1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010 * 2e-4

到

0.1100110011001100110011001100110011001100110011001101 * 2e-3

然后加上有效位

0.1100110011001100110011001100110011001100110011001101

与

1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010

我们得到相加的有效值：

10.0110011001100110011001100110011001100110011001100111

但它不在[1,2) 范围内，因此需要将其右移（向上舍入）到：

1.0011001100110011001100110011001100110011001100110100 (* 2e-2)

然后添加到

0.3 (1.0011001100110011001100110011001100110011001100110011 * 2e-2) 

我们得到：

10.0110011001100110011001100110011001100110011001100111 * 2e-2

再次，我们需要移位和四舍五入，最后得到值：

1.0011001100110011001100110011001100110011001100110100 * 2e-1

正是0.6000000000000001（十进制）的值

使用相同的工作流程，您得到计算 0.1 + (0.2 + 0.3)

工具

本网页http://bartaz.github.io/ieee754-visualization/帮助您快速将十进制数转换为binary64格式，您可以使用它来验证计算步骤。

如果您正在处理单精度二进制浮点数，您可以参考这个工具：http://www.h-schmidt.net/FloatConverter/IEEE754.html

Answer 2

一般问题在Is floating point math broken?中描述。

在其余部分，我将只看两个计算之间的差异。

来自我的评论：

好吧，在第一种情况下，您正在做 (0.1 + 0.2) + 0.3 = 0.3 + 0.3，在第二种情况下，您正在做 0.1 + (0.2 + 0.3) = 0.1 + 0.5。我猜第一种情况下的舍入误差大于第二种情况。

让我们仔细看看这个计算中的实际值：

var a = 0.1;
var b = 0.2;
var c = 0.3;

console.log('          a:', a.toPrecision(21));
console.log('          b:', b.toPrecision(21));
console.log('          c:', c.toPrecision(21));

console.log('      a + b:', (a + b).toPrecision(21));
console.log('      b + c:', (b + c).toPrecision(21));

console.log('  a + b + c:', (a + b + c).toPrecision(21));
console.log('a + (b + c):', (a + (b + c)).toPrecision(21));

输出是

          a: 0.100000000000000005551
          b: 0.200000000000000011102
          c: 0.299999999999999988898

      a + b: 0.300000000000000044409
      b + c: 0.500000000000000000000

  a + b + c: 0.600000000000000088818
a + (b + c): 0.599999999999999977796 

因此，很明显，两种计算都有舍入误差，但误差是不同的，因为您以不同的顺序执行加法。碰巧a + b + c 产生了更大的错误。

---

控制台似乎将数字四舍五入到小数点后 16 位：

> (a + b + c).toPrecision(16)
"0.6000000000000001"
> (a + (b + c)).toPrecision(16)
"0.6000000000000000"

这就是为什么第二次计算只会输出0.6。如果控制台会四舍五入到小数点后第 17 位，情况会有所不同：

> (a + b + c).toPrecision(17)
"0.60000000000000009"
> (a + (b + c)).toPrecision(17)
"0.59999999999999998"

Answer 3

这不是 JavaScript 的问题，你也会在其他语言中得到类似的惊喜。

请阅读：What Every Programmer Should Know About Floating-Point Arithmetic