球体投影角等效答案

【问题标题】：Sphere projection angles equivalence球体投影角等效
【发布时间】：2014-06-16 10:06:31
【问题描述】：

假设我们在距离观察者 d 处有一个半径为 r 的球体

我们定义如下

O: observer
C: Center of the sphere
P: arbitrary visible point of the sphere (fromthe observer)

OC: line connecting the observer to the center of the sphere ( fixed length: d)
OP: Line connecting the observer and an arbitrary visible point of the sphere (variable length depending on the angle: a)
CP: Line connecting the center of the sphere and this arbitrary visible point (fixed length: r)


theta: angle between OC and OP
shi: angle between OC and CP

如果 P 是球体的“外部”可见点之一，使用基本几何我们就有了

theta_max = atan( r/ sqrt(d^2-r^2) )
shi_max = PI/2 - theta_max

对于任何其他点，我得到了以下等式

r.cos(shi) + a.cos(theta) = d
r.sin(shi) = a.sin(theta)

我认为这些等式是正确的，但我看不出有办法将它们写成 shi=f(theta)，因为 'a' 也会随之变化。

有可能吗？还是这些步骤有误？

编辑

使用最新的两个方程，我们可以得到

tan(theta)= r.sin(shi)/(d-r.cos(shi))

但如果可能的话，我需要得到 shi=f(theta)

【问题讨论】：

您想从两个方程中消除一个变量 (a)，这在这里很容易。你为a 求解一个方程，然后将结果放入另一个方程。然后a没了，你可以为shi解决。
感谢 pentadecagon，但如果我这样做，我只能得到 tan(theta)=r.sin(shi)/(d-r.cos(shi))，这给了我作为 shi 函数的 theta ，但如果它以封闭形式存在（我不知道），我无法得到它的倒数 shi = f(theta)。编辑帖子以指出这一点

标签： math 3d geometry projection

【解决方案1】：

我们将CP和OP之间的角度称为λ。求解λ 相当简单：

sin(λ) = sin(theta)*d/r

现在您知道该三角形内有两个角，剩下的一个可以从三角形的角和中计算出来：

shi = Pi - theta - asin( sin(theta)*d/r )

【讨论】：

这就是我想要的！非常感谢！