透视变换矩阵的计算答案

【问题标题】：Calculation of a perspective transformation matrix透视变换矩阵的计算
【发布时间】：2011-03-11 01:00:27
【问题描述】：

给定 3D 空间中的一个点，我如何计算齐次坐标中的矩阵，该矩阵将该点投影到平面 z == d，原点是投影的中心。

【问题讨论】：

你想要什么形式的投影？你真的只是在谈论(X,Y,Z) => (X,Y,D)，一个 D-Z 在 Z 轴上的矩阵平移吗？您是否试图找到原点和点之间的线段与偏移 Z=D 平面的交点？您的问题需要更多详细信息。
是否需要一个特定于该点的矩阵，或者您是否想要一个将任何点（除了原点）投影到 z=d 平面上的常量矩阵，沿来自原点的射线？
你检查en.wikipedia.org/wiki/3D_projection了吗？我认为它包含您的答案以及对计算的解释。
你要求形成一个透视投影变换矩阵，它不同于透视变换矩阵。
我刚刚在stackoverflow.com/questions/24163987/…详细回答了这个问题

【解决方案1】：

好的，让我们尝试解决这个问题，扩展 Emmanuel 的答案。

假设您的视图向量直接沿 Z 轴，所有尺寸都必须按视图平面距离 d 与原始 z 坐标的比率进行缩放。这个比率是微不足道的d / z，给出：

x' = x * (d / z)
y' = y * (d / z)
z' = z * (d / z)    ( = d)

在齐次坐标中，通常以 P = [x, y, z, w] 开始，其中 w == 1 并这样完成转换：

P' = M * P

结果将有w != 1，为了获得真实的 3D 坐标，我们通过将整个物体除以其 w 分量来标准化齐次向量。

所以，我们只需要一个矩阵，给定[x, y, z, 1] 给我们[x * d, y * d, z * d, z]，即

| x' |  =    | d   0   0   0 |  *  | x |
| y' |  =    | 0   d   0   0 |  *  | y |
| z' |  =    | 0   0   d   0 |  *  | z |
| w' |  =    | 0   0   1   0 |  *  | 1 |

一旦标准化（除以w' == z）给你：

[ x * d / z, y * d / z,   d,   1 ]

根据上面的第一组方程

【讨论】：

【解决方案2】：

我猜你的意思是，正如 Beta 所说的那样，包括：

原点O(0, 0, 0)和待变换点P(a, b, c)形成的直线
和飞机z=d

如果我是对的，那么让我们看看这条线的方程，由矢量积 OP ^ OM = 0 给出（让我们提醒一下，两个给定点 A 和 B 之间的一条线的方程是由AB ^ AM = 0给出，与M(x, y, z)；这是一个向量积，所以都是向量：0代表空向量，AB是向量AB等）：

bz - cy = 0
cx - az = 0
cz - bx = 0

使用z = d，我们只有两个线性独立方程：

bd = cy
cx = ad

所以这个投影将点P(a, b, c) 转换为点P'(ad/c, bd/c, d)。对于齐次坐标，给出：

P'(ad/c, bd/c, d) = P'(ad/c, bd/c, cd/c)
                  = P'(ad/c: bd/c: cd/c: 1)
                  = P'(a: b: c: d/c)

编辑：我第一次找到的矩阵是：

    1, 0, 0, 0
    0, 1, 0, 0
A = 0, 0, 1, 0
    0, 0, 0, d/c

但它使用c 这是点P 的坐标！！这是废话，我找不到不使用这些坐标的A 的表达式。我可能对齐次坐标不够熟悉。

【讨论】：

您的解释不清楚 - M 有什么意义，为什么向量 OP 与向量 OM 正交？
+1，但是由于你是用d/c缩放的，所以我认为矩阵中的缩放元素1/s应该是c/d。
@Alnitak：确实，我试图澄清这一点。 @antonakos：你能开发吗？我找不到正确矩阵的事实取决于我将c 作为分母...
将这条线描述为一组联立方程会使它过于复杂恕我直言 - 它实际上是简单的几何形状。
如果要按s = d/c进行缩放，那么矩阵中位置(4,4)的元素应该是1/s = c/d。见en.wikipedia.org/wiki/…

【解决方案3】：

齐次变换矩阵为(Euler roll-pitch-yaw)：

|r1 r2 r3 dx|
|r4 r5 r6 dy|
|r7 r8 r9 dz|
|px py pz sf|

r1-9 是组合旋转矩阵的元素：Rx*Ry*Rz（算出来） dx dy 和 dz 是位移矢量 (d) 元素 px py 和 pz 是透视向量 (p) 元素 sf 是比例因子

从这里开始，如果您使用与此相反的方法，您可以通过输入目标平面的旋转以及它在参考平面中的原点位置（保持透视向量）将投影作为任意平面中的透视图对于纯运动学，在 0 0 0 和 sf=1 处），你得到 T->T* = T1。得到T1^-1（对于运动学，这只是R'（转置），水平连接由-R'*d，然后垂直连接简单地由0 0 0 1）。

可以有多个平面，例如a,b,c 作为链，此时 T1 = Ta*Tb*Tc*...

那么，v(new) = (T1^-1)*v(old)，工作完成。

【讨论】：