我有floor(sqrt(floor(x)))。这是真的：
floor 是多余的。floor 是多余的。【问题讨论】：
显然外层不是多余的，例如，sqrt(2) 不是整数，因此floor(sqrt(2))≠sqrt(2)。
也很容易看出sqrt(floor(x))≠sqrt(x) 表示非整数x。因为sqrt是一个单调函数。
我们需要确定floor(sqrt(floor(x)))==floor(sqrt(x)) 是否适用于所有有理数（或实数）。
让我们证明如果sqrt(n)<m 那么sqrt(n+1)<m+1，对于整数m,n。不难看出
n<m^2 ⇒ n+1 < m^2+1 < m^2+2m+1 = (m+1)^2
因此，sqrt 是 montone 我们有这个事实
sqrt(n) < m -> sqrt(n+1) < m+1 -> sqrt(n+eps)<m+1 for 0<=eps<1
因此floor(sqrt(n))=floor(sqrt(n+eps)) 代表所有0<eps<1 和整数n。否则，假设 floor(sqrt(n))=m 和 floor(sqrt(n+eps))=m+1，你就会遇到 sqrt(n)<m+1 而 sqrt(n+eps)>=m+1 的情况。
因此，假设需要外部floor，则内部floor 是多余的。
换一种说法总是正确的
floor(sqrt(n)) == floor(sqrt(floor(n)))
内部ceil呢？
很容易看出floor(sqrt(n)) ≠ floor(sqrt(ceil(n)))。例如
floor(sqrt(0.001))=0, while floor(sqrt(1))=1
但是你可以用类似的方式证明
ceil(sqrt(n)) == ceil(sqrt(ceil(n)))
【讨论】：
内层是多余的，外层当然不是。
外部的不是多余的，因为只有当 x 是平方数时，数字 x 的平方根才会产生整数。
内层是多余的，因为区间 [x,x+1[ （其中 x 是整数）中任何数的平方根始终位于区间 [floor(sqrt(x)),ceil(sqrt (x))[ 因此，如果您只对结果的整数部分感兴趣，则无需在取其平方根之前对数字求底。
【讨论】：
直觉上我认为内部是多余的，但我无法证明。
除非你能提供一个 x 值来证明我错了，否则你不能投票给我。 8-)
编辑：请参阅 v3 对此答案的评论以获取证据 - 谢谢 v3！
【讨论】：
内层是多余的
【讨论】：
内层是多余的。反证法：
假设内层不是多余的。这意味着：
floor(sqrt(x)) != floor(sqrt(x+d))
对于某些 x 和 d，其中 floor(x) = floor(x+d)。然后我们要考虑三个数字： a = sqrt(x)，b = 楼层(sqrt(x+d))，c = sqrt(x+d)。 b 是一个整数，a
【讨论】：
如果 x 是整数，则内层是多余的。
如果 x 不是整数，则两者都不是多余的。
【讨论】：
外层不是多余的。反例：x = 2。
地板(sqrt(地板(2))) = 地板(sqrt(2)) = 地板(1.41...)
如果没有外层，结果将是 1.41...
【讨论】：
如果内层不是多余的，那么我们会期望 floor(sqrt(n)) != floor(sqrt(m))，其中 m = floor(n)
请注意，n - 1
floor(sqrt(n)) != floor(sqrt(m)) 要求 sqrt(n) 和 sqrt(m) 的值至少相差 1.0
但是，没有任何值 n 的 sqrt(n) 与 sqrt(n + 1) 相差至少 1.0，因为对于 0 和 1 之间的所有值，根据定义，该值的 sqrt
因此，对于所有值 n，下限(sqrt(n)) == 下限(sqrt(n + 1))。这与最初的假设相矛盾。
因此内层是多余的。
【讨论】：
如果n^2 <= x < (n+1)^2 其中n 是整数，则
n <= sqrt(x) < n+1，所以floor(sqrt(x)) = n；n^2 <= floor(x) < (n+1)^2，所以n <= sqrt(floor(x)) < n+1，所以floor(sqrt(floor(x))) = n。因此，floor(sqrt(floor(x))) = floor(sqrt(x))，表示内层是多余的。
【讨论】：