在mathematica中区分元组值函数

Question

如何在 Mathematica 中创建元组值函数并对其执行微分。

更具体地说，我有以下函数，其中R 表示实线

f:R^2 -> R^3

g:R^3 -> R^3 

h: R^3 -> R^1

我想考虑这些函数 k:R^2 -> R^1 的组成，即 k= h(g(f(x,y))) 并且我想找到导数 k_x、k_y、k_xx， k_yy, k_xy

如何在 Mathematica 中做到这一点？

Answer 1

我假设您没有 f,g,h 的表达式，但您想要根据 f,g,h 的导数来获得合成的导数。

您总是可以通过使用 f[x_,y_] := {f1[x,y],f2[x,y],f3[x,y]} 之类的定义将问题简化为单值函数

例如：

f[x_, y_] := Through[{f1, f2, f3}[{x, y}]]
g[x_, y_, z_] := Through[{g1, g2, g3}[{x, y, z}]]

D[h @@ g @@ f[x, y], x]

结果：

(Derivative[{1, 0}][f3][{x, y}]*Derivative[{0, 0, 1}][g3][{f1[{x, y}], f2[{x, y}], f3[{x, y}]}] + 
   Derivative[{1, 0}][f2][{x, y}]*Derivative[{0, 1, 0}][g3][{f1[{x, y}], f2[{x, y}], f3[{x, y}]}] + 
   Derivative[{1, 0}][f1][{x, y}]*Derivative[{1, 0, 0}][g3][{f1[{x, y}], f2[{x, y}], f3[{x, y}]}])*
  Derivative[0, 0, 1][h][g1[{f1[{x, y}], f2[{x, y}], f3[{x, y}]}], g2[{f1[{x, y}], f2[{x, y}], f3[{x, y}]}], 
   g3[{f1[{x, y}], f2[{x, y}], f3[{x, y}]}]] + 
 (Derivative[{1, 0}][f3][{x, y}]*Derivative[{0, 0, 1}][g2][{f1[{x, y}], f2[{x, y}], f3[{x, y}]}] + 
   Derivative[{1, 0}][f2][{x, y}]*Derivative[{0, 1, 0}][g2][{f1[{x, y}], f2[{x, y}], f3[{x, y}]}] + 
   Derivative[{1, 0}][f1][{x, y}]*Derivative[{1, 0, 0}][g2][{f1[{x, y}], f2[{x, y}], f3[{x, y}]}])*
  Derivative[0, 1, 0][h][g1[{f1[{x, y}], f2[{x, y}], f3[{x, y}]}], g2[{f1[{x, y}], f2[{x, y}], f3[{x, y}]}], 
   g3[{f1[{x, y}], f2[{x, y}], f3[{x, y}]}]] + 
 (Derivative[{1, 0}][f3][{x, y}]*Derivative[{0, 0, 1}][g1][{f1[{x, y}], f2[{x, y}], f3[{x, y}]}] + 
   Derivative[{1, 0}][f2][{x, y}]*Derivative[{0, 1, 0}][g1][{f1[{x, y}], f2[{x, y}], f3[{x, y}]}] + 
   Derivative[{1, 0}][f1][{x, y}]*Derivative[{1, 0, 0}][g1][{f1[{x, y}], f2[{x, y}], f3[{x, y}]}])*
  Derivative[1, 0, 0][h][g1[{f1[{x, y}], f2[{x, y}], f3[{x, y}]}], g2[{f1[{x, y}], f2[{x, y}], f3[{x, y}]}], 
   g3[{f1[{x, y}], f2[{x, y}], f3[{x, y}]}]]