我正在尝试使用 QR 分解和 linalg.solve 解决超定系统，但我得到的错误是
LinAlgError: 数组的最后 2 个维度必须是正方形。
当 R 数组不是正方形时会发生这种情况，对吗？代码是这样的
import numpy as np
import math as ma
A = np.random.rand(2,3)
b = np.random.rand(2,1)
Q, R = np.linalg.qr(A)
Qb = np.matmul(Q.T,b)
x_qr = np.linalg.solve(R,Qb)
有没有办法以更有效的方式为任意 A 维度编写此代码？如果没有，我该如何让这段代码 sn-p 工作？
【问题讨论】：
标签： python numpy least-squares qr-decomposition
原因确实是矩阵R不是方阵，可能是系统超定了。您可以尝试 np.linalg.lstsq 代替，找到最小化平方误差的解决方案（如果存在，它应该会产生精确的解决方案）。
import numpy as np
A = np.random.rand(2, 3)
b = np.random.rand(2, 1)
x_qr = np.linalg.lstsq(A, b)[0]
【讨论】：
x_qr = np.linalg.lstsq(A, b)[0]，而不是先计算A的QR分解，这是多余的，已经由lstsq完成。
您需要使用标志 mode='reduced' 调用 QR。默认的 Q R 矩阵返回为 M x M 和 M x N，因此如果 M 大于 N，那么您的矩阵 R 将是非正方形的。如果您选择缩减（经济）模式，您的矩阵将为 M x N 和 N x N，在这种情况下，求解例程可以正常工作。
但是，对于超定系统，您也有向后的方程/未知数。你的代码 sn-p 应该是
import numpy as np
A = np.random.rand(3,2)
b = np.random.rand(3,1)
Q, R = np.linalg.qr(A, mode='reduced')
#print(Q.shape, R.shape)
Qb = np.matmul(Q.T,b)
x_qr = np.linalg.solve(R,Qb)
正如其他贡献者所说，您也可以直接调用 lstsq，但有时直接使用 Q 和 R 会更方便（例如，如果您还计划计算投影矩阵）。
【讨论】：
如numpy.linalg.solve的文档所示：
计算完全确定的，即满秩线性矩阵方程 ax = b 的“精确”解 x。
你的方程组是underdetermined 没有超定。请注意，其中有 3 个变量和 2 个方程，因此方程比未知数少。
还请注意它还提到在numpy.linalg.solve(a,b) 中，a 必须是MxM 矩阵。这背后的原因是求解方程组Ax=b 涉及计算A 的逆，并且只有方阵是可逆的。
在这些情况下，一种常见的方法是采用 Moore-Penrose 伪逆，它将计算系统的最佳拟合（最小二乘）解。因此，不要尝试解决确切的解决方案，而是使用 numpy.linalg.lstsq:
x_qr = np.linalg.lstsq(R,Qb)
【讨论】：