是否可以进一步优化此代码，以便我不会在竞争网站上获得 Time Limit Exceeded 或 TLE？

Question

The snapshot of the question

在一个竞争激烈的编码网站上，我遇到了这个问题。我能够使用以下代码解决基本用例的问题。但是，大输入超出了时间限制，我尝试减少循环次数，但仍然需要大约 2 秒的时间，但是限制只有 1 秒。

是否还有进一步优化此代码的空间？比如，我们可以删除嵌套循环吗？

static void Main(string[] args)
    {
        string[] first = (Console.ReadLine()).Split(null);          //Sample input -  3 1 2 2 3
        int N = int.Parse(first[0]);
        int X = (int.Parse(first[1]) - 1);
        int Y = (int.Parse(first[2]) - 1);
        int Z = (int.Parse(first[3]) - 1);
        int T = (int.Parse(first[4]) - 1);
        string second = Console.ReadLine();                         // Sample input - 1 2 3
        List<int> list = new List<int>();

        //Converting string inputs to int
        list = second.Split().Select(str => int.Parse(str)).ToList();

        List<int> xorList = new List<int>();
        int xor = 0;
        int temp = 0;
        //Calculate the digits(using bitwise AND) of sub-matrix only, instead of entire matrix, and in the same loop, calculate bitwise XOR also.
        for (int i = X; i <= Z; i++)
        {
            for (int j = Y; j <= T; j++)
            {
                temp = list[i] & list[j];
                xor ^= temp;                    
            }
        }            
        Console.WriteLine(xor);            
    }

编辑：对于大型输入，矩阵的大小可以大到 100000 x 100000。 此外，数字序列可以包含大至 1000000000 的整数。

对于这样的整数，需要 2 秒。

Answer 1

首先，让我们假设问题出在布尔值而不是整数上。

那么查看问题的一种方法是，我们感兴趣的子矩阵顶部有一些布尔值，左侧有一些布尔值。那么如果为顶部的布尔值绘制垂直线为真，水平线为侧布尔值绘制为真：

然后任务是计算交叉的数量并确定该数字是偶数（结果：零）还是奇数（结果：一）。

现在更明显的是，它可以在不逐个计算的情况下完成，它可以通过将顶部的 True 布尔值的数量乘以侧面的 True 布尔值的数量来完成。事实上，我们可以对这些数字进行按位与，因为乘积的最低有效位与数字的最低有效位相同。

这只需要线性时间来计算 X..Z 范围和 Y..T 范围内 True 布尔值的数量。

要解决全部问题，请对所有 32 位整数执行此操作。当然，这样做有一条捷径，因为不需要完整的计数（只需要计数的最低有效位），也不需要完整的产品。

也许您更喜欢更代数的解释，那么看到这一点的一种方式是，我们使用 AND 通过 XOR 分布的事实将 a&d ^ a&e ^ a&f ^ b&d ^ b&e ^ b&f ^ c&d ^ c&e ^ c&f（一个 3x3 示例）重写为 (a ^ b ^ c) & (d ^ e ^ f)。

一般来说，

horizontal = XOR of list[X .. Z]
vertical = XOR of list[Y .. T]
result = horizontal & vertical