我试图理解Matlab 中的双精度数字。为什么这个 1 - 3*(4/3 - 1) 不等于零？
【问题讨论】：
标签： matlab floating-point floating-accuracy ieee-754 double-precision
实数 4/3 不能用双精度（或任何其他二进制浮点格式）表示，因为它不是二元有理数。因此，当您在 MATLAB 中计算 4/3 时，您得到的值四舍五入到最接近的可表示双精度数，即：
1.3333333333333332593184650249895639717578887939453125
从这个值中减去 1 是精确的（众所周知的 FP 误差分析定理，即在一个因数为 2 内的数字相减是精确的），所以4/3 - 1 的结果是：
0.3333333333333332593184650249895639717578887939453125
碰巧这个数乘以三的结果也可以精确表示：
0.9999999999999997779553950749686919152736663818359375
最后，从 1.0 中减去也是精确的（根据我之前提到的定理）：
0.0000000000000002220446049250313080847263336181640625
因此，您的计算中只有一个舍入误差源，因为 4/3 不能表示为双精度数，并且计算的最终结果只是初始误差结转。
【讨论】：
在科学计算器上运行它 - log2(2.2204e-16) - 产生（几乎）正好 -52。换句话说，Matlab 将 52 位精度存储在 double 中，另外 5 位用于指数（4 + 符号），1 位用于有效数的符号。这与 IEEE 754 实现一致：53 位用于有效位（52 + 符号），5 位用于指数。一切都很好！与往常一样，您应该测试两个浮点数是否足够接近，而不是它们是否完全相等。 Matlab 中的适当示例如下所示：
if abs(x - y) < 1e-15
% Some code to execute when x and y are approximately equal
else
% Some other code
end
遵守 IEEE 754 的声明来自 the wikipedia article。
【讨论】：
麻烦从4/3的计算开始。确切的答案既不能用有限的十进制数字表示，也不能用有限的位数表示。结果将存储为4/3+r，其中 r 是一个小的绝对值有符号数，表示 4/3 的实际值与最接近 4/3 的 IEEE 754 64 位二进制浮点数之间的差异，即舍入误差。
减去 1 得到1/3+r。乘以 3 得到1+3r。从 1 中减去它得到-3r。
最终结果是 4/3 原始表示中舍入误差的 -3 倍。
【讨论】：