我可以相信 ceil() 的结果的实数到整数转换吗？答案

【问题标题】：Can I trust a real-to-int conversion of the result of ceil()?我可以相信 ceil() 的结果的实数到整数转换吗？
【发布时间】：2011-11-02 17:26:48
【问题描述】：

假设我有一些代码，例如：

float a, b = ...; // both positive
int s1 = ceil(sqrt(a/b));
int s2 = ceil(sqrt(a/b)) + 0.1;

s1 != s2 有可能吗？我担心a/b 何时是一个完美的正方形。比如a=100.0和b=4.0，那么ceil的输出应该是5.00000，但是如果是4.99999呢？

类似的问题：100.0/4.0 是否有可能评估为5.00001，然后ceil 会将其四舍五入为6.00000？

我更喜欢在整数数学中执行此操作，但 sqrt 有点搞砸了这个计划。

编辑： 关于如何更好地实现这一点的建议也将不胜感激！ a 和 b 值是整数值，所以实际代码更像：ceil(sqrt(float(a)/b))

编辑：根据 levis501 的回答，我想我会这样做：

float a, b = ...; // both positive
int s = sqrt(a/b);
while (s*s*b < a) ++s;

谢谢大家！

【问题讨论】：

这些计算是为了什么？例如，您可以将sqrt(x) < y 更改为x < y * y，这样可以保留整数运算（只要y * y 不会变得太大）。
不幸的是，s1 != s2 很有可能，即使a/b 是一个完美的正方形。浮点运算是出了名的不准确，因此您获得5.00000（或任何您想要的数字）的机会非常渺茫。
@peachykeen 即使我们正在处理整数？ 5.0 可以完美地表示为浮点数，100.0 和 20.0 也可以。
@Dan 如果您有一个实现，其中100/4 的计算结果接近于5，那么您肯定有问题。
@GMan 我会考虑的...我有a 需要分发到b 盒子的物品。当a>b我想把每个盒子分成4、9、16、25等子盒子。所以s的值是比例（分别为2、3、4、5），或者是盒子沿每个维度的分割数。例如，300 个单元和 20 个盒子需要每个盒子分成 16 个（4x4）。

标签： c++ c floating-point floating-accuracy ceil

【解决方案1】：

我认为这是不可能的。不管sqrt(a/b) 的值是多少，它产生的是我们使用的某个值 N：

int s1 = ceil(N);
int s2 = ceil(N) + 0.1;

由于 ceil 总是产生一个整数值（尽管表示为双精度值），所以我们总是会有一些值 X，第一个产生X.0，第二个产生X.1。转换为int 将始终截断.1，因此两者都会导致X。

如果 X 太大以至于 X.1 超出了 double 的范围，似乎会有一个例外。不过，我看不出这在哪里是可能的。除了接近 0（溢出不是问题）外，数字的平方根将始终小于输入数字。因此，在 ceil(N)+0.1 可能溢出之前，在 sqrt(a/b) 中用作输入的 a/b 必须已经溢出。

【讨论】：

我同意我们应该期望信任 ceil，但我找不到 C 标准中的哪个位置（如果有的话）它实际上谈到了 math.h 中函数的准确性。假设 0.5ulp 精度，ceil 必须返回一个整数，如果实现不能做到这一点，那将是非常不合理的。但是我们知道，说 cos 不能保证准确度为 0.5ulp（或 sqrt，我认为它回答了第二个问题），那么为什么要 ceil 呢？除了因为明显的实现是屏蔽尾数的一些位（如果这些位还不是 0，则添加 1），我的意思是。
我想这取决于我们是否将“计算不小于 x 的最小整数值”理解为“保证返回的值是一个整数，等于 ...”或表示, “精确的数学结果是……，但返回的值通常不准确”。
@SteveJessop：实际上，只有 64 位 int 才有可能遇到问题。对于 32 位 int 和带有 53 位尾数的 double 的典型情况，在将 double 转换为精确的整数值有任何困难之前，您就已经使 int 溢出了。
至于为什么我们会期望有所不同，我认为这很简单。使用您的示例 (sqrt)，所有非整数结果都是不合理的，因此它们可能无法准确表示。只有当我们用一个完美的正方形呈现它时，才会有任何关于它产生真正准确答案的问题的空间。
好吧，我希望ceil 准确，因为我可以想象一个简单的实现。我所苦恼的只是它是否保证准确，如果准确的话（C99 和 IEEE 754 是候选者）。同时，我不希望sqrt 一定在 0.5ulp 内准确的原因不是（就像你的情况一样）仅仅因为它不能完全准确。这是因为我碰巧知道在没有高昂成本的情况下很难将其实现到 0.5ulp 精度。也与标准无关，这就是为什么我在那里也不完全满意......

【解决方案2】：

您可能想为您的案例编写一个显式函数。例如：

/* return the smallest positive integer whose square is at least x */
int isqrt(double x) {
  int y1 = ceil(sqrt(x));
  int y2 = y1 - 1;
  if ((y2 * y2) >= x) return y2;
  return y1;
}

这将处理比率a/b 的平方根在double 的精度范围内的奇怪情况。

【讨论】：

我喜欢这种方法。可以证明它是正确的，无需了解或依赖浮点实现细节。

【解决方案3】：

浮点数的相等性确实是一个问题，但恕我直言，如果我们处理整数，则不是。

如果你有100.0/4.0 的情况，它应该完美地评估为25.0，因为25.0 完全可以表示为一个浮点数，与例如相反。 25.1.

【讨论】：

【解决方案4】：

是的，s1 != s2 完全有可能。为什么这是一个问题？ s1 != (s1 + 0.1) 似乎很自然。

顺便说一句，如果您希望将5.00001 舍入为5.00000 而不是6.00000，请使用rint 而不是ceil。

并回答实际问题（在您的评论中） - 您可以使用 sqrt 获取起点，然后使用整数算术找到正确的平方。

int min_dimension_greater_than(int items, int buckets)
{
    double target = double(items) / buckets;
    int min_square = ceil(target);
    int dim = floor(sqrt(target));
    int square = dim * dim;
    while (square < min_square) {
        seed += 1;
        square = dim * dim;
    }
    return dim;
}

是的，这可以改进很多，这只是一个速写。

【讨论】：

s1 和 s2 都是整数。演员截断小数
注意 s1, s2 是整数。我会研究 rint，不确定它是否适用于我需要支持的所有平台。
@Dan: 如果你没有rint，那么floor(x+0.5f) 会给出同样的结果。
@Mike，谢谢。在那种情况下，rint 绝对不是我想要的。我对这个问题的评论解释了我的用例。
@levis501 是的，我知道它们都被截断了：我只是不明白你为什么要麻烦添加0.1，如果你希望它被截断。 IOW：要么是无操作，我不知道 OP 为什么要写它，要么不是，我不知道他为什么感到惊讶。

【解决方案5】：

s1 将永远等于 s2。

C 和 C++ 标准并没有说明数学例程的准确性。从字面上看，这个标准是不可能实现的，因为 C 标准说 sqrt(x) 返回 x 的平方根，但是 2 的平方根不能用浮点数精确表示。

实现始终返回正确舍入结果的具有良好性能的例程（在舍入到最近模式下，这意味着结果是最接近精确结果的可表示浮点数，并解决了有利于低零位）是一个困难的研究问题。好的数学库的目标精度小于 1 ULP（因此返回两个最接近的可表示数字之一），可能略高于 0.5 ULP。（ULP 是最低精度单位，即指数字段中给定特定值的低位值。）一些数学库可能比这差得多。您必须询问您的供应商或查看文档以获取更多信息。

所以 sqrt 可能会稍微偏离。如果精确的平方根是一个整数（在整数可以用浮点数精确表示的范围内）并且库保证错误小于 1 ULP，那么 sqrt 的结果必须完全正确，因为除了确切的结果至少距离 1 ULP。

类似地，如果库保证错误小于 1 ULP，那么 ceil 必须返回准确结果，同样因为准确结果是可表示的，并且任何其他结果至少 1 ULP 之外。此外，ceil 的性质是，我希望任何合理的数学库总是返回一个整数，即使库的其余部分质量不高。

对于溢出的情况，如果 ceil(x) 超出了所有整数都可以精确表示的范围，那么 ceil(x)+.1 更接近 ceil(x) 而不是任何其他可表示的数字，所以在任何实现浮点标准 (IEEE 754) 的系统中，将 .1 添加到 ceil(x) 的四舍五入结果应该是 ceil(x)。前提是您处于默认舍入模式，即舍入到最近。可以将舍入模式更改为近似无穷大，这可能导致 ceil(x)+.1 为高于 ceil(x) 的整数。

【讨论】：