将重复的二进制数转换为十进制数答案

【问题标题】：Converting a repeating binary number to decimal将重复的二进制数转换为十进制数
【发布时间】：2019-05-30 14:34:15
【问题描述】：

如何将 0.1011111.... 或 0.10(1) 表示为分数 a/b？ a & b 为整数。

我正在尝试这种方法

x = 0.10(1) x = 10.(1) / 4

现在 y = 10.(1)

2y = 101.(1)

这意味着 2y - y = 91 y = 91

x = 91/4 但是 a = 91 & b = 4 是错误的。

我该如何解决这个问题？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

您需要观察数字仍然是二进制的。因此，在十进制中，y 的整数部分是 2，2y 的整数部分是 5，因此差值是 y=3。

注意二进制0.1(1)=1，就像十进制0.9(9)=1。因此，以另一种方式，x 恰好是 0.11 二进制文件，即1/2+1/4=3/4。

【讨论】：

【解决方案2】：

你可以这样做：

x = (0.1011111)₂

x = 1/2¹ + 0/2² + 1/2³ + 1/2^{4支持> + ... )

x = 1/2 + 1/2²*(1/2¹ + 1/2² + 1/2³ + ... )

如果我们忽略上式中粗体标记的项，括号中的项变为x，所以我们可以说括号中的项等于(x+1/2²)}

x = 1/2 + 1/2²*(x+1/2²)
x = 1/2 + x/4 + 1/16

求解上述方程

3x/4 = 9/16
x = 3/4

【讨论】：

【解决方案3】：

下面是这个问题对重复模式的常见情况的概括。

假设 x=0.001100110011...，其中模式 0011 无限重复。

设 a 为模式（x 为 0011），k 为其长度（即 x 为 4）。

x = a×2^-k+a×2^-2k+...
= a×2^-k×∑_{_i=0}^{^∞} (2^-k)^i = a×2^-k×lim_n→∞(1-(2^-k)^n)/(1-2^-k)
因为 x 是具有 2^k 比率的几何序列的总和。

当 n 趋于 ∞ 时，(2^-k)^n 趋于零，我们有
x = a×2^-k/(1-2^-k) = a/(2^k-1)

如果 x=0.11111..., a=1, k=1 和 x=1/(2-1)=1 并且我们得到 LutzL 已经给出的结果（以更简单的方式！），它回答了原始问题。

但我们可以用任何重复模式解决更复杂的问题。
例如，如果 x=0.001100110011...，我们有 a=0011=3 和 k=4。
因此 x=3/(2^-4-1)=1/5=0.2

对重复模式前面有非重复序列的情况的概括是立即的。

【讨论】：