为什么某些双精度数在打印到控制台时会自动舍入？

Question

假设我有以下代码：

double factor;
double num = 4.35;
BigDecimal y = new BigDecimal(num);
BigDecimal n = new BigDecimal(factor);
BigDecimal asBigDecimal = y.multiply(n);
double asDouble = num * factor;
System.out.println("Double: " + asDouble + "\tBigDecimal: " + asBigDecimal);

当我将factor 设置为以下各项时会发生这种情况：

factor = 1:    Double: 4.35 BigDecimal: 4.3499999999999996447286321199499070644378662109375
factor = 10:   Double: 43.5 BigDecimal: 43.4999999999999964472863211994990706443786621093750
factor = 100:  Double: 434.99999999999994   BigDecimal: 434.9999999999999644728632119949907064437866210937500
factor = 1000: Double: 4350.0   BigDecimal: 4349.9999999999996447286321199499070644378662109375000

另外，当我将System.out.print(4.35 / 10); 作为一个单独的程序运行时，我会在控制台中得到0.43499999999999994。为什么在控制台中乘以 1、10 和 1000 会给出四舍五入的答案（作为双精度数）？我了解浮点精度的基础知识，并且 4.35 不应该能够以二进制形式精确表示，那么为什么 4.35 打印到控制台（asDouble）？为什么乘以 100 或除以 10 不自动四舍五入？

Answer 1

有几件事正在发生。首先是二进制四舍五入，然后是十进制四舍五入。

查看那些 BigDecimal 值的二进制表示（我使用了我的 Decimal/Binary Converter）：

factor = 1:    100.0101100110011001100110011001100110011001100110011         (52 bits)
factor = 10:   101011.011111111111111111111111111111111111111111111111       (53 bits)
factor = 100:  110110010.11111111111111111111111111111111111111111111011     (56 bits)
factor = 1000: 1000011111101.1111111111111111111111111111111111111111100111  (59 bits)

因子 1 和 10 的结果不是以二进制四舍五入的；它们是

因子 100 和 1000 的结果是四舍五入的。由于第 54 位为 0，因此因子 100 的结果向下舍入为该值：

   factor = 100:  110110010.11111111111111111111111111111111111111111111        (53 bits)

十进制，即 434.99999999999994315658113919198513031005859375。四舍五入到 17 位是 434.99999999999994。

因子 1000 结果向上舍入到该值，因为 54 位及以上的位 > 1/2 ULP：

factor = 1000: 1000011111110

那是 4350。