【发布时间】：2008-12-26 19:59:09
【问题描述】：
假设我有以下：
- 由最小和最大纬度和经度定义的区域（通常是“经纬度矩形”，尽管除了某些投影外它实际上不是矩形）。
- 由中心纬度/经度和半径定义的圆
如何判断：
- 这两个形状是否重叠？
- 圆是否完全包含在矩形内？
我正在寻找一个完整的公式/算法，而不是数学课本身。
【问题讨论】：
标签： language-agnostic math geometry gis trigonometry
【发布时间】：2008-12-26 19:59:09
【问题描述】：
警告：如果圆圈/“矩形”跨越球体的大部分，这可能会很棘手，例如：
“矩形”：最小长=-90度，最大长=+90度，最小纬度=+70度，最大纬度=+80度
圆：center = lat = +85deg, long = +160deg, radius = 20deg（例如，如果 A 点在圆上，C 点是圆心，O 点是球心，那么角度 AOC = 40deg )。
这些相交但数学可能有几个案例来检查相交/包含。以下点位于上述圆上：P1=(+65deg lat,+160deg long), P2=(+75deg lat, -20deg long)。 P1 在“矩形”之外，P2 在“矩形”内，因此圆/“矩形”至少相交 2 个点。
好的，这是我对解决方案的概述：
令 C = 半径为 R 的圆心（如上表示为球面角）。 C 有纬度 LATC 和经度 LONGC。由于“矩形”这个词在这里有点误导（等纬度的线不是大圆的段），我将使用“边界框”这个词。
函数
InsideCircle(P)返回+1,0 或-1： 如果点P 在圆内，则返回+1，如果点P 在圆上，则返回-1，如果点 P 在圆外：计算 C 和任何点 P 之间的大圆距离 D（表示为球角）将告诉您 P 是否在圆内：InsideCircle(P) = sign(R-D)（正如用户 @Die in Sente 提到的，大圆距离已在此论坛上的其他地方询问）定义
PANG(x)= x 的主角 = MOD(x+180deg, 360deg)-180deg。PANG(x)始终介于 -180 度和 +180 度之间（含）（+180 度应映射到 -180 度）。-
要定义边界框，您需要知道 4 个数字，但经度存在一个小问题。 LAT1 和 LAT2 表示边界纬度（假设 LAT1
- LAT1
- abs(PANG(LONGP-LONGM))
如果 PTEST = union(PCORNER,PLAT,PLONG) 中的任何以下点 P 如下所述，则圆与边界框相交，对于 InsideCircle()，不都返回相同的结果：
- PCORNER = 边界框的 4 个角
- 边界框两侧的点 PLAT（没有或 2 个）与圆的中心共享相同的纬度，如果 LATC 在 LAT1 和 LAT2 之间，在这种情况下，这些点具有纬度 LATC 和经度 LONG1 和 LONG2。
- 边界框两侧的 PLONG 点（没有或 2 或 4 个！）与圆心的经度相同。这些点有 EITHER 经度 = LONGC OR 经度 PANG(LONGC-180)。如果 abs(PANG(LONGC-LONGM))
上面列出的这些点 PLAT 和 PLONG 是边界框上离圆“最近”的点（如果不是角；我在引号中使用“最近”，在纬度/长距离和不是大圆距离），并涵盖了圆心位于边界框边界的一侧但圆上的点“溜过”边界框边界的情况。
如果 PTEST 中的所有点 P 返回 InsideCircle(P) == +1（都在圆圈内），则圆圈包含整个边界框。
如果 PTEST 中的所有点 P 返回 InsideCircle(P) == -1（都在圆外），则圆完全包含在边界框内。
否则圆和边界框之间至少有一个交点。请注意，这不会计算这些点的位置，尽管如果您在 PTEST 中取任意 2 个点 P1 和 P2，其中 InsideCircle(P1) = -InsideCircle(P2)，那么您可以通过二等分找到一个交点（效率低下）。 （如果 InsideCircle(P) 返回 0，那么您就有一个交点，尽管浮点数学中的相等性通常不可信。）
可能有一种更有效的方法可以做到这一点，但上述方法应该可行。
【讨论】：
-
你觉得那个案子很棘手？考虑一个沙漏形状的“矩形”（由于跨越一根杆子），或者半径 > 90 度的圆。
-
最小/最大纬度定义的矩形可以包含极点吗？听起来不像。我还假设圆圈是“小”圆圈，例如半径
-
它也不是一个矩形。拐角之间的最短距离（纬度）不是直线。一个圆可以重叠，但不包含 4 个角中的任何一个，它也可以重叠一条直线，但不能重叠“矩形”。
-
@bruceatk：我很确定我涵盖了你提到的情况，我想我会将“矩形”重命名为“边界框”，因为我并不是要暗示它是一个真正的矩形（球体表面上不能有任何东西）。如果圆与它重叠，则集合 PLAT 或 PLONG 中的至少一个点在圆内。
-
很好的答案，谢谢，虽然比 aib 的要复杂一些。
使用Stereographic projection。所有圆圈（特别是纬度、经度和您的圆圈）都映射到平面中的圆圈（或线）。现在只是关于平面几何中的圆和线的问题（更好的是，所有经度都是通过0的线，所有纬度都是围绕0的圆）
【讨论】：
- 是的，如果方框角包含圆心。
- 是的，如果任何方框角在圆心半径内。
- 是的，如果该框包含圆心经度，并且最接近圆心纬度的框纬度的经度交点在圆心半径内。
- 是的，如果框包含圆心的纬度，并且最短交点轴承上距圆心半径距离的点“超出”最近的框经度；其中最短交点方位角是通过找到从圆心到零纬度点的初始方位角和 pi/2“超过”最近的箱形经度的经度来确定的。
- 否，否则。
假设：
- 您可以找到从 A 点到 B 点的最小航向的初始方位。
- 您可以找到两点之间的距离。
第一次检查是微不足道的。第二次检查只需要找到四个距离。第三个检查只需要找到从圆心到（最近框纬度，圆心经度）的距离。
第四次检查需要找到最接近圆心的边界框的经线。然后找到距离圆心最远的经线所在的大圆的中心。找到从圆心到大圆心的初始方位。从该轴承上的圆心找到点圆半径。如果该点位于距离圆心最近的经线的另一侧，则圆和边界框在该侧相交。
在我看来，这应该是有缺陷的，但我一直没能找到它。
我似乎无法解决的真正问题是找到完美包含圆的边界框（对于不包含极点的圆）。最小/最大纬度的方位似乎是圆心纬度和圆半径/（球体周长/4）的函数。在赤道附近，它下降到 pi/2（东）或 3*pi/2（西）。随着中心接近极点，半径接近球周长/4，方位接近零（北）或pi（南）。
【讨论】：
这个怎么样？
找到将矩形中心点Cr 连接到圆心的向量v。找到点i，其中v 与矩形相交。如果||i-Cr|| + r > ||v|| 则它们相交。
换句话说，矩形内线段的长度加上圆内线段的长度应该大于总长度（v，中心连接线段）。
寻找点i 应该是棘手的部分，特别是如果它落在经度边缘，但你应该能够比我更快地想出一些东西。
编辑：此方法无法判断圆是否完全在矩形内。为此，您需要找到从其中心到矩形所有四个边缘的距离。
编辑：以上内容不正确。 在某些情况下，正如 Federico Ramponi 所建议的那样，即使在欧几里得几何中它也不起作用。我会发布另一个答案。请不接受这一点，并随时投反对票。我会尽快删除它。
【讨论】：
-
这是一个很好的方法。这个理论看起来很合理，但数学仍然非常棘手，因为“矩形”实际上并不是矩形，并且矢量将位于球面上。我在这个问题上的第一个 +1，在一系列非常错误的信息 -1 之后。
-
不是我希望的完整算法，但肯定是一个好的开始，谢谢！
-
注意等式中的不等号 ，否则你的断言是错误的。
-
但是，如果您的测试（使用 >）失败，则不能说没有发生交集。你不能在欧几里得平面上，“显然”你也不能在球面上。
-
例如，画一个左下角（0,0）和右上角（2,8）的矩形，以（3,8）为圆心，半径为2 . 测试（带>）失败，但两个数字相交。
这应该适用于地球上的任何点。如果您想将其更改为不同大小的球体，只需将 kEarchRadiusKms 更改为您想要的球体半径即可。
此方法用于计算纬度和经度点之间的距离。
我从这里得到了这个距离公式： http://www.codeproject.com/csharp/distancebetweenlocations.asp
public static double Calc(double Lat1, double Long1, double Lat2, double Long2)
{
double dDistance = Double.MinValue;
double dLat1InRad = Lat1 * (Math.PI / 180.0);
double dLong1InRad = Long1 * (Math.PI / 180.0);
double dLat2InRad = Lat2 * (Math.PI / 180.0);
double dLong2InRad = Long2 * (Math.PI / 180.0);
double dLongitude = dLong2InRad - dLong1InRad;
double dLatitude = dLat2InRad - dLat1InRad;
// Intermediate result a.
double a = Math.Pow(Math.Sin(dLatitude / 2.0), 2.0) +
Math.Cos(dLat1InRad) * Math.Cos(dLat2InRad) *
Math.Pow(Math.Sin(dLongitude / 2.0), 2.0);
// Intermediate result c (great circle distance in Radians).
double c = 2.0 * Math.Atan2(Math.Sqrt(a), Math.Sqrt(1.0 - a));
// Distance.
// const Double kEarthRadiusMiles = 3956.0;
const Double kEarthRadiusKms = 6376.5;
dDistance = kEarthRadiusKms * c;
return dDistance;
}
如果矩形任意顶点之间的距离小于圆半径的距离，则圆和矩形重叠。如果圆心和所有顶点之间的距离大于圆的半径，并且所有这些距离都小于矩形的宽度和高度，那么圆应该在矩形的内部。
如果您发现我的代码有问题，请随时更正我的代码，因为我确信存在一些我没有想到的情况。
此外，我不确定这是否适用于跨越半球末端的矩形，因为距离方程可能会失效。
public string Test(double cLat,
double cLon,
double cRadius,
double rlat1,
double rlon1,
double rlat2,
double rlon2,
double rlat3,
double rlon3,
double rlat4,
double rlon4)
{
double d1 = Calc(cLat, cLon, rlat1, rlon1);
double d2 = Calc(cLat, cLon, rlat2, rlon2);
double d3 = Calc(cLat, cLon, rlat3, rlon3);
double d4 = Calc(cLat, cLon, rlat4, rlon4);
if (d1 <= cRadius ||
d2 <= cRadius ||
d3 <= cRadius ||
d4 <= cRadius)
{
return "Circle and Rectangle intersect...";
}
double width = Calc(rlat1, rlon1, rlat2, rlon2);
double height = Calc(rlat1, rlon1, rlat4, rlon4);
if (d1 >= cRadius &&
d2 >= cRadius &&
d3 >= cRadius &&
d4 >= cRadius &&
width >= d1 &&
width >= d2 &&
width >= d3 &&
width >= d4 &&
height >= d1 &&
height >= d2 &&
height >= d3 &&
height >= d4)
{
return "Circle is Inside of Rectangle!";
}
return "NO!";
}
【讨论】：
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不错的代码，但是当我和许多其他人第一次阅读这个问题时，你已经陷入了同样的陷阱。彻底阅读其他答案和 cmets。如果所有四个角都在圆外，那么在里面的边上仍然可能有点！
再试一次...
我认为解决方案是测试一组点，正如 Jason S 建议的那样，但我不同意他选择的点，我认为这在数学上是错误的。
您需要在纬度/经度框两侧找到与圆心的距离为局部最小值或最大值的点。将这些点添加到角集合中，然后上面的算法应该是正确的。
即，让经度为 x 维度，纬度为 y 维度，让每个 框的一侧是参数曲线 P(t) = P0 + t (P1-P0) o
令 f(P) = f(P.x, P.y) 为到圆心的距离。
那么 f (P0 + t (P1-P0)) 是 t 的距离函数：g(t)。找出距离函数的导数为零的所有点：g'(t) == 0。（当然，丢弃的解决方案超出域 0
不幸的是，这需要找到一个超越表达式的零，所以没有封闭形式的解决方案。这类方程只能通过 Newton-Raphson 迭代求解。
好的，我知道你想要的是代码，而不是数学。但我只有数学。
【讨论】：
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啊哈，我承认了。 （我认为。:) 双重问题（找到圆的极值 lat/long 点并测试那些 + 中心以查看哪些在边界框内）可能更容易，但也有超验的废话。
有关欧几里得几何的答案，请参阅：Circle-Rectangle collision detection (intersection)
【讨论】：