如何在 M 个团队中划分 N 个参与者以形成最小对？答案

【问题标题】：How to divide N participants among M teams so that minimum pairs are formed?如何在 M 个团队中划分 N 个参与者以形成最小对？
【发布时间】：2015-05-05 21:26:00
【问题描述】：

如果我有两个数字，即N 和M，我必须找出如何在M 团队中划分N 人，以便每个团队中形成最少数量的配对，那么如何我应该去做吗？（另外，每个团队至少要有一个成员）

例如，如果我有N = 6 和M = 3，然后，每个团队应该有 2 个人。因此，总共 3 支球队，意味着形成 3 对。

我知道我必须分发，以便分发应该尽可能均匀。但是我无法为此提出适当的算法。谢谢！

【问题讨论】：

n = 7 和m = 3 的情况会怎样？一个团队会有额外的成员，还是会排除那个孤独的参与者？
一个团队会有一个额外的成员，是的。

标签： algorithm

【解决方案1】：

这很简单。首先，在每个团队中放置n/m 人。
您还有n%m (n modolus m) 名球员，将他们随机分配到球队，但每支球队最多可以得到一名这些“额外”球员。

在 m=2 的情况下，为什么这是正确的直觉很简单：

您需要将 n 个玩家分成x 和n-x，并且您希望尽量减少对数：

x(x-1)/2 + (n-x)(n-x-1)/2 = 
= (x^2-x + n^2 -2nx + x^2 -n +x)/2

使用导数找到最小值：

d(x^2-x + n^2 -2nx + x^2 -n -x)/2/dx = 2x -1 -2n +2x +1 = 4x-2n

看上面等于0的时候：

4x-2n = 0 -> x=n/2

任何m>0 的结果都将相似（尽可能接近n/m），只是更难证明。

【讨论】：

【解决方案2】：

与另一个答案类似，但有一个更直接证明的大纲。假设您有两支球队的球员人数相差超过 1，即一支球队有 k 名球员，一支球队有 k+j 名球员，其中 k >=1 且 j >=2。证明如果你将一名球员从拥有 k+j 名球员的球队转移到拥有 k 名球员的球队，那么使用二项式系数，你将得到更小的对数。

【讨论】：

【解决方案3】：

已完成团队数 = n / m。
没有任何团队的玩家数量：n % m。

现在你有两个选择：

创建一个由剩余玩家组成的新团队。
为每支球队多派一名球员，直到没有单独的球员为止。

我了解您选择了选项 2。

我将向您展示一段可能对您有所帮助的 Java 代码。

（我知道你的问题没有java标签，但是是一门很容易理解的高级编程语言）

int people = n;
int numberOfTeams = m;
int peopleAlone = n;

int initialPeopleForTeam = n/m;

 //This is an array of teams where each element of array is a team,
// and his value the number of people that have the team.
        int teams[] = new int [numberOfTeams];


//each team starts with n/m players. 
     for (int i = 0; i < m; i++){
        teams[i] = initialPeopleForTeam;
        peopleAlone = peopleAlone - initialPeopleForTeam;
    }

 //While the number of people alone is not 0, I'll give one more  person  to each team.
      int index = 0;
      while (peopleAlone > 0){
      teams[index] = teams[index] + 1;
      index++;
      peopleAlone--;
     }

【讨论】：