查找涉及指数和除法涉及大量数字的余数模

Question

我需要一个快速算法来评估以下内容

((a^n-1)/(a-1)) % p

a 和 n 几乎相等，但小于 10^6，p 是一个固定的质数（比如p=1000003）。我需要在 1 秒内计算它。我正在使用python。 Wolfram Mathematica computes it instantly。使用以下代码需要 35.2170000076 秒

print (((10**6)**(10**6)-1)/((10**6)-1))%1000003

如果分母a-1 不存在，我可以将幂分组为更小的顺序并使用关系a*b (mod c) = (a (mod c) * b (mod c)) (mod c) 但分母存在。

如何使用快速算法对此进行评估？没有可用的 numpy/scipy。

更新::这是我想出的最终代码

def exp_div_mod(a, n, p):
    r = pow(a, n, p*(a-1)) - 1
    r = r - 1 if r == -1 else r
    return r/(a-1)

Answer 1

(((a ** n) - 1) / (a-1)) % p

可以改写为

(((a ** n) - 1) % ((a-1)*p)) / (a-1)

这部分：

(((a ** n) - 1) % ((a-1)*p))

可以通过计算来计算：

((a ** n) % ((a-1)*p))

然后调整为 -1。

a 的 n 次方和 mod 的 ((a-1)*p)。这可以使用 Python pow() 函数来完成。然后调整为 -1 并除以 a-1。

使用 pow() 函数并传递模值比计算完整指数然后取模更快，因为模可以应用于计算的每个阶段的部分乘积，这会阻止值得到太大（10⁶ 的 10⁶ 次方有 600 万个十进制数字，在每一步都应用模数，这些值永远不必增长到大于模 - 在本例中约为 13 位）。

代码：

def exp_div_mod(a, n, p):
    m = p * (a - 1)
    return ((pow(a, n, m) - 1) % m) // (a - 1);

print exp_div_mod((10**6), (10**6), 1000003)

输出：

444446

注意：此方法仅适用于 a、n 和 p 为整数时。

Answer 2

(aⁿ−1) ⁄ (a−1) 是 的总和i = 0 到 n−1 of aⁱ。

计算后一个 mod p 很简单，基于以下几点：

让 F(a, n) 为 Σ(i=0..n -1){aⁱ} 如果 n > 0，否则为 0。

现在：

1. F(a,n) = a×F(a,n−1) + 1

2. F(a,2n) = (a+1)×F(a²,n)

第二个身份是分治递归。

由于这两个都只涉及加法和乘法，我们可以计算它们 mod p 而不需要大于 a×p 的整数类型通过分布模运算。 （见下面的代码。）

只需第一次递归，我们就可以编写一个迭代解决方案：

def sum_of_powers(a, n, p):
  sum = 0
  for i in range(n): sum = (a * sum + 1) % p
  return sum

同样使用分而治之的递归，我们得到的东西并不复杂：

def sum_of_powers(a, n, p):
  if n % 2 == 1:
    return (a * sum_of_powers(a, n-1, p) + 1) % p
  elif n > 0:
    return ((a + 1) * sum_of_powers(a * a % p, n // 2, p)) % p
  else:
    return 0

第一个解决方案在不到一秒的时间内返回，n == 10⁶。第二个立即返回，即使 n 为 10⁹。

Answer 3

您可以乘以p - 1 的modular inverse。由于费马小定理，你有 x^p-2 · x ≡ x^p-1 ≡ 1 (mod p) 对于所有 0 ，因此您甚至不需要扩展 Euclid 来计算逆，只需标准 Python 中的 pow 函数：

(pow(a, n, p) - 1) * pow(a - 1, p - 2, p) % p

该算法具有时间复杂度?(log p)，因为使用了square-and-multiply。