求总和能被 k 整除的对数？

Question

给定一个 k 值。这样 k9。

Answer 1

我找到了一个解决方案，让a 和b 数字使得(a+b)%k=0 然后我们必须找到这对(a,b)，其中a<b，所以让我们计算有多少对(a,b) 满足a+b=k 的条件，例如如果 k=3 0+3=3, 1+2=3, 2+1=3, 3+0=3 有 4 对，但只有 2 对 (K+1)/2 (integer division) 如此相似，以找到总和为 2k, 3k,.. nk 的对 (a,b)，解决方案将是(k+1)/2 + (2k+1)/2 + (3k+1)/2 + ... + (nk+1)/2，这等于 (k*n*(n+1)/2 + n)/2，时间复杂度为 O(1)，注意 n*k=2*10^9 的情况，因为对于给定的约束，a 不能超过 10^9。

Answer 2

使用哈希映射解决 O(N) 时间和 O(N) 空间。

概念如下：

If (a+b)%k=0 where

a=k*SOME_CONSTANT_1+REMAINDER_1 

b=k*SOME_CONSTANT_2+REMAINDER_2

then (REMAINDER_1 +REMAINDER_2 )%k will surely be 0

所以对于一个数组 (4,2,3,31,14,16,8) 和 k =5，如果你有一些类似下面的信息，你可以找出所有对的总和 %k =0

请注意，最底部的行包含从 0 到 k-1 的所有余数以及与之对应的所有数字。 现在您需要做的就是将两个指针移向对方，直到它们相遇。如果两个指针位置都有与之关联的数字，则它们的 sum%k 将为 0

要解决这个问题，您可以使用哈希表来跟踪您目前看到的所有剩余部分

1. 创建哈希映射 Map。
2. 使用 0 到 k-1 预填充其键；
3. 遍历数组并将每个数字的余数放入映射中，Key = 余数，并将实际数字放入列表中，
4. 使用两个相互移动的指针迭代键集。和sum += listSizeAsPointedByPointer1 * listSizeAsPointedByPointer2

Answer 3

一些伪代码可以帮助您入门。它使用你说你尝试过的蛮力技术，但也许你的代码有问题？

max = 1000000000
numberPairs = 0
for i = 1 to max - 2 do
    for j = i + 1 to max - 1 do
        if (i + j) mod k = 0 then
            numberPairs = numberPairs + 1
        end if
    end do
end do

Answer 4

一种方法是蛮力：

int numPairs = 0;
for (i = 0; i < 10e9; i++)
{
    for (j = i+1; j < 10e9; j++)
    {
        int sum = i + j;
        if (sum % k == 0) numPairs++;
    }
 }
 return numPairs;

我会留给你来优化它以提高性能。我至少可以想到一种方法来显着加快这一速度。