【问题标题】：Efficient Calculation of an N-Dimensional Cross Product?高效计算 N 维叉积？
【发布时间】：2013-05-10 00:36:03
【问题描述】：

根据标题，仅使用行列式定义和使用 LU 分解方法来计算 n 维叉积的最佳方法是这样做，还是你们能推荐一个更好的方法？

谢谢

编辑：为了清楚起见，我的意思是 http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product 而不是笛卡尔积

编辑：使用莱布尼茨公式似乎也可能有所帮助——尽管我不知道这与 LU Decomp 相比如何。在这一刻。

【问题讨论】：

你不想要大 N 的莱布尼茨公式——它很快就会变得昂贵！对于N>4，LU分解法大概是要走的路。
你所说的“交叉产品”到底是什么意思？您引用的维基百科文章陈述了一个七维，然后说“在一般维度中，没有直接类似的二进制叉积可以专门产生一个向量”。你的意思是楔形产品还是别的什么？
@MvG 是的，抱歉，我想是楔形产品？我的意思是这部分“。另外，使用方向和度量结构，就像传统的 3 维叉积一样，可以在 n 维中取 n - 1 个向量的乘积来产生一个垂直于所有这些向量的向量。但是如果该产品仅限于具有矢量结果的非平凡二元产品，它仅存在于三维和七维中。”特别是假设它存在的 n-1 个向量的乘积 - 你怎么知道它是否仅限于非平凡的二元乘积？例如。支票？
“二元积”意味着您需要一个将两个向量作为输入的操作，而不是您提到的 $n-1$ 个向量。 “非平凡”意味着它不会简单地“计算”独立于其输入的空向量。楔积也是二进制的。你关心结果的长度，还是只关心它的正交性？如果是后者，那么您只是在寻找由输入向量形成的 $(n-1)\times n$ 矩阵的 kernel 的（一个元素）。有多种方法可以计算该内核，例如使用 Lapack。

标签： math optimization vector cross-product

【解决方案1】：

从您的评论来看，您似乎正在寻找一个以 n −1 个向量作为输入并计算单个向量作为其结果的操作，该向量将与所有输入向量正交，并且可能也有明确定义的长度。

定义长度

您可以使用标识 v ∙ 来表征 3 维叉积 v =a ×b w =det(a,b,w)。换句话说，取输入向量的叉积，然后用 any 其他向量 w 计算 dot product 与插入输入向量和其他向量相同成一个矩阵并计算其determinant。

这个定义可以是generalized to arbitrary dimensions。由于可以使用Laplace expansion 沿最后一列计算行列式的方式，该叉积的结果坐标将是所有 (n −1)×(n −1) 可以从输入向量形成的子行列式，带有交替符号。所以是的，Leibniz 在理论上可能有用，尽管它几乎不适合实际计算。在实践中，您很快就会想办法避免在computing these n determinants 时重复计算。但是等待这个答案的最后一部分......

只是方向

但是，大多数应用程序都可以满足较弱的要求。他们不关心结果向量的长度，而只关心它的方向。在这种情况下，您需要的是 (n −1)×n 矩阵的kernel，您可以通过将输入向量作为行来形成。该内核的任何元素都将与输入向量正交，并且由于计算内核是一项常见任务，因此您可以构建很多 existing implementations，例如Lapack。详细信息可能取决于您使用的语言。

结合这些

您甚至可以结合上述两种方法：计算内核的一个元素，对于该向量的非零条目，还可以计算相应的 (n −1)×(n −1) 行列式，它将使用第一种方法为您提供单个坐标。然后，您可以简单地缩放矢量，使所选坐标达到计算值，并且所有其他坐标都将匹配该坐标。

【讨论】：