在有限域域中找到 A.x = b 中 x 的“所有解”

Question

Matlab 提供了一种在 GF(2^m) 中找到 Ax=b 的特定解的方法。这是链接http://www.mathworks.in/help/comm/ref/gflineq.html 但它只提供了一种解决方案。如何找到其余的解决方案？

例如：GF(4) 中的 A=[1 0 2 0 0 1]，GF(4) 中的 b=[0]。 x=A\b 给出 [0 0 0 0 0 0]' 作为解。我也知道 [0 1 2 3 2 3]' 是另一种解决方案。但是除了全零之外我无法得到任何其他解决方案。如何在Matlab中找到所有解决方案？

Answer 1

一般来说，

矩阵方程 Ax=b 的解不必存在，即使存在，也不必是唯一的。就您而言，您知道存在多种解决方案。在这种情况下，您有一个“特定解决方案”，基本上是解决 Ax=b 的任何 x，现在，要获得多个解决方案，您可以继续从 A 的 Nullspace 添加向量。

证明：

令 x 为特解，y 在 A 的 Nullspace 中（Nullspace 中的任何向量都可以）。我们知道 Ax=b。我们也知道 Ay=0。将它们相加，A(x+y)=b。

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TL;DR 解决方案：

在 GF 中找到矩阵的 Nullspace，并将 Nullspace 的任意向量添加到特定解中以生成更多解。

我没有使用它，但there seems to be a code on MATLAB Central 可以在 GF 中找到矩阵的 Nullspace。