为什么增加数字精度时算法会失败？我们如何降低算法对数字精度的敏感性？

Question

我正在使用 Newton Raphson +successive Substitute 算法进行快速计算（化学过程模拟）。

当输入是0.1这样的低精度时，算法可以很好地收敛，但是当数字精度增加到0.11111或0.99999时。算法不会收敛。

当我使用带有 BFGS 更新的准牛顿法时，同样的问题再次出现。我们如何降低代码对数值精度的敏感性？

这是一个使用 matlab 求解 Rachford-Rice 方程的简单示例。当 comp_overall=[0.9,1-0.9] 时，它收敛得很好。但是，当数字精度增加到 like[0.99999,1-0.99999] 时。它不会收敛。

K=[0.053154011443159 34.234731216532658], 
comp_overall= [0.99999 1- 0.99999], phi=0.5; %initial values
epsilon = 1.0;
iter1 = 1; 
while (epsilon >=1.e-05)
  rc=0.0;
  drc=0.0;
  for i=1:2
    % Rachford-Rice Equation 
    rc = comp_overall(i)*(K(i)-1.0)/(1.0+phi*(K(i)-1.0))+rc;
    % Derivative 
    drc = comp_overall(i)*(K(i)-1.0)^2/(1.0+phiK(i)-1.0))^2+drc; 
  end 
  % Newton-Raphson 
  phi1 = phi +0.01 (rc / drc);
  epsilon = abs( (phi1-phi)/phi );  
  % Convergence
  phi = phi1; 
  iter1=iter1+1; 
end

Answer 1

Newton-Raphson 方法依赖于函数在任意两个连续近似值之间是可微的。根据初始值的选择，z₁ = 0.99999 可能不是这种情况。让我们看一下 Rachford-Rice 函数的图：

这个函数的根是φ₀ ≈ –0.0300781429，最近的不连续点是–1/(K₂-1) ≈ –0.0300890052。它们足够接近，足以让 Newton-Raphson 方法过冲，跳过该不连续性。

例如：

• φ₁ = –0.025
• f(φ₁) ≈ -0.9229770571
• f'(φ₁) ≈ 1.2416569960
• φ₂ = φ₁ + 0.01 * f(φ₁) / f'(φ₁) ≈ -0.0324334302
• φ₂ 位于不连续点的左侧，因此以下步骤将远离根部，而不是朝向根部。
• φ₃ = -0.0358986759 < φ₂

可以做些什么：

1. 当算法无法收敛时，以更小的步长重复它。例如，从系数 0.01（现在这样）开始，每次失败后将其减小 10 倍。
2. 检测过冲。在每次迭代中，检查当前近似值和前一个近似值之间是否存在不连续点 (–1/(Kᵢ-1))。发生这种情况时，丢弃当前的近似值，减小系数并继续。
3. 限制搜索范围。 [0, 1] 之外的解在物理上有意义吗？如果不是，您可以在近似值超出该范围时停止。
4. 使用不同的方法。该函数在两个连续不连续点之间的任何间隔上都是单调的，因此您可以对每个这样的间隔执行二进制搜索。它将比 Newton-Raphson 方法更快、更稳健。