快速有效地计算已知特征值的特征向量

Question

我的问题的简短版本：

如果我们已经知道属于特征向量的特征值，那么计算矩阵A 的特征向量的最佳方法是什么？

更长的解释：

我有一个很大的随机矩阵A，因为它是随机的，所以有一个非负左特征向量x（例如A^Tx=x）。

我正在寻找快速有效的数值计算该向量的方法。 （最好在 MATLAB 或 numpy/scipy 中 - 因为这两者都围绕着 ARPACK/LAPACK，所以任何一个都可以）。

我知道1 是A 的最大特征值，所以我知道调用类似这样的 Python 代码：

from scipy.sparse.linalg import eigs
vals, vecs = eigs(A, k=1)

将导致 vals = 1 和 vecs 等于我需要的向量。

然而，这里困扰我的是，计算特征值通常比求解线性系统更困难，并且通常，如果矩阵 M 具有特征值 l，那么找到适当的特征向量是求解方程(M - 1 * I) * x = 0 的问题，至少在理论上，这是一个比计算特征值更简单的操作，因为我们只是求解线性系统，更具体地说，是找到矩阵的零空间。

但是，我发现MATLAB 中的所有零空间计算方法都依赖于svd 计算，这是我无法在我的大小矩阵上执行的过程。我也不能调用线性方程的求解器，因为它们都只能找到一个解，而那个解是 0（是的，它是一个解，但不是我需要的）。

有什么方法可以避免调用类似eigs 的函数来比计算最大特征值和伴随的特征向量更快地解决我的问题？

Answer 1

这是使用 Matlab 的一种方法：

1. 令x表示与特征值1关联的左（行）^†特征向量。它满足线性方程组（或矩阵方程）xA = x，或 x(A-I)=0。
2. 为避免该方程组的全零解，请删除第一个方程并在其余方程中任意将 x 的第一个条目设置为 1。
3. 求解剩余的方程（x₁ = 1）以获得 x 的其他条目。

使用 Matlab 的示例：

>> A = [.6 .1 .3
        .2 .7 .1
        .5 .1 .4]; %// example stochastic matrix
>> x = [1, -A(1, 2:end)/(A(2:end, 2:end)-eye(size(A,1)-1))]
x =
   1.000000000000000   0.529411764705882   0.588235294117647
>> x*A %// check
ans =
   1.000000000000000   0.529411764705882   0.588235294117647

注意代码-A(1, 2:end)/(A(2:end, 2:end)-eye(size(A,1)-1))是第3步。

在您的公式中，您将 x 定义为 A^T 的（列）右特征向量（例如A^Tx = x）。这只是上面代码中的x.'：

>> x = x.'
x =
   1.000000000000000
   0.529411764705882
   0.588235294117647
>> A.'*x %// check
ans =
   1.000000000000000
   0.529411764705882
   0.588235294117647

您当然可以规范化特征向量以求和 1：

>> x = x/sum(x)
x =
   0.472222222222222
   0.250000000000000
   0.277777777777778
>> A.'*x %'// check
ans =
   0.472222222222222
   0.250000000000000
   0.277777777777778

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^{† 在usual convention 之后。等效地，这对应于转置矩阵的右特征向量。}