使用 Cairo 绘制一个固定的均匀三次 B 样条

Question

我有一堆坐标，它们是 2D 平面上固定的均匀三次 B 样条的控制点。我想使用 Cairo 调用（在 Python 中，使用 Cairo 的 Python 绑定）绘制这条曲线，但据我所知，Cairo 仅支持 Bézier 曲线。我也知道可以使用贝塞尔曲线绘制两个控制点之间的 B 样条线段，但我在任何地方都找不到确切的公式。给定控制点的坐标，如何推导出相应贝塞尔曲线的控制点？有什么有效的算法吗？

Answer 1

好的，所以我使用谷歌搜索了很多，我想我想出了一个适合我目的的合理解决方案。我把它贴在这里——也许它对其他人也有用。

首先，让我们从一个简单的Point 类开始：

from collections import namedtuple

class Point(namedtuple("Point", "x y")):
    __slots__ = ()

    def interpolate(self, other, ratio = 0.5):
        return Point(x = self.x * (1.0-ratio) + other.x * float(ratio), \
                     y = self.y * (1.0-ratio) + other.y * float(ratio))

三次 B 样条只不过是 Point 对象的集合：

class CubicBSpline(object):
    __slots__ = ("points", )

    def __init__(self, points):
        self.points = [Point(*coords) for coords in points]

现在，假设我们有一个开放的均匀三次 B 样条，而不是一个钳位的。三次 B 样条的四个连续控制点定义了一个 Bézier 线段，因此控制点 0 到 3 定义了第一个 Bézier 线段，控制点 1 到 4 定义了第二个线段，依此类推。 Bézier 样条的控制点可以通过在 B 样条的控制点之间以适当的方式进行线性插值来确定。令 A、B、C 和 D 为 B 样条的四个控制点。计算以下辅助点：

1. 找到将 A-B 线以 2:1 的比例分开的点，设为 A'。
2. 找到以 1:2 的比例划分 C-D 线的点，设为 D'。
3. 将 B-C 线分成三等份，让两点分别为 F 和 G。
4. 找到 A' 和 F 之间的中间点，这将是 E。
5. 找到 G 和 D' 之间的中间点，这将是 H。

带有控制点 F 和 G 的从 E 到 H 的 Bézier 曲线等效于点 A、B、C 和 D 之间的开放 B 样条曲线。请参阅this excellent document 的第 1-5 节。顺便说一下，上述方法称为 Böhm 算法，如果以适当的数学方式表示，同时考虑非均匀或非三次 B 样条，则要复杂得多。

我们必须对 B 样条的每组 4 个连续点重复上述过程，因此最后我们将需要几乎任何连续控制点对之间的 1:2 和 2:1 分割点。这是以下BSplineDrawer 类在绘制曲线之前所做的：

class BSplineDrawer(object):
    def __init__(self, context):
        self.ctx = context

    def draw(self, bspline):
        pairs = zip(bspline.points[:-1], bspline.points[1:])
        one_thirds = [p1.interpolate(p2, 1/3.) for p1, p2 in pairs]
        two_thirds = [p2.interpolate(p1, 1/3.) for p1, p2 in pairs]

        coords = [None] * 6
        for i in xrange(len(bspline.points) - 3):
            start = two_thirds[i].interpolate(one_thirds[i+1])
            coords[0:2] = one_thirds[i+1]
            coords[2:4] = two_thirds[i+1]
            coords[4:6] = two_thirds[i+1].interpolate(one_thirds[i+2])

            self.context.move_to(*start)
            self.context.curve_to(*coords)
            self.context.stroke()

最后，如果我们想要绘制钳位 B 样条而不是开放 B 样条，我们只需将钳位 B 样条的两个端点再重复 3 次即可：

class CubicBSpline(object):
    [...]
    def clamped(self):
        new_points = [self.points[0]] * 3 + self.points + [self.points[-1]] * 3
        return CubicBSpline(new_points)

最后，代码应该是这样使用的：

import cairo

surface = cairo.ImageSurface(cairo.FORMAT_ARGB32, 600, 400)
ctx = cairo.Context(surface)

points = [(100,100), (200,100), (200,200), (100,200), (100,400), (300,400)]
spline = CubicBSpline(points).clamped()

ctx.set_source_rgb(0., 0., 1.)
ctx.set_line_width(5)
BSplineDrawer(ctx).draw(spline)

Answer 2

Converting B-spline curve to Bezier spline curve 有帮助吗？