在 DAG 中寻找汉密尔顿路径的算法的正确性证明

Question

我正在尝试设计一种在 O(n+m) 时间内运行的算法，以确定给定的有向无环图中是否存在哈密顿路径。

这是解决这个问题的算法：

对 DAG 进行拓扑排序，然后检查排序中的连续顶点是否在 图形。如果是这样，拓扑排序给出了哈密顿路径。另一方面，如果存在哈密顿量 路径，则路径给出了 DAG 的拓扑排序。

现在我不知道如何证明它的正确性并找出它的空间复杂度。任何帮助将不胜感激。

Answer 1

实际上，您几乎已经证明了这一点。您的证明中缺少的部分是表明如果 DAG 具有哈密顿路径，那么拓扑排序算法必须找到它，因为没有其他方法可以将节点按拓扑排序顺序：

假设有一条哈密顿路径。让u 和v 是任意两个节点，并且不失一般性地假设u 在哈密顿路径中出现在v 之前。然后有一条从u 到v 的路径由u 和v 之间的哈密顿路径中的节点形成，因此u 必须以任何拓扑排序顺序出现在v 之前。

因此，拓扑排序顺序中的所有节点对具有与哈密顿路径中相同的相对顺序。因此，如果节点是拓扑排序的，那么它们与哈密顿路径的顺序相同。

因此，如果存在哈密顿路径，运行任何拓扑排序算法都会找到它。逆是相当微不足道的。如果没有哈密顿路径，那么拓扑排序当然不会找到。

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关于空间复杂度，这将与拓扑排序算法的空间复杂度相同，因为检查结果是否为哈密顿路径的第二阶段需要 O(1) 额外空间。标准拓扑排序算法的空间复杂度为 O(n)，其中 n 为顶点数。