极坐标变换的雅可比行列式中的 Sympy 抵消项

Question

我正在准备如何使用极坐标/笛卡尔参数化的变换来得出雅可比矩阵的示例。我的问题是双重的。首先，我想知道如何强制 sympy 在替换后取消条款。 这两个矩阵是：

J1 = Matrix([[(r*cos(theta)).diff(r), (r*cos(theta)).diff(theta)],[(r*sin(theta)).diff(r),(r*sin(theta)).diff(theta)]])
J2 = Matrix([[((x**2+y**2)**(1/2.)).diff(x),((x**2+y**2)**(1/2.)).diff(y)],[atan(y/x).diff(x),atan(y/x).diff(y)]])
#substitute for x,y to have same variables for J1 and J2
J2 = trigsimp(J2.subs({x:r*cos(theta), y:r*sin(theta)}))
J2

我预计使用 cancel()，甚至 evalf() 会删除 r/(r^2)^1/2= 1 项，但它没有。

第二，如何或者可以需要 sympy 来识别简单的身份，在这种情况下 sin^2+cos^2 = 1？这样结果就是 J1*J2 的评估单位矩阵。

这有效，根据文档：

simplify(r/(r**2)**(1/2)*(sin(theta)**2+cos(theta)**2))

这个等价（ish）方程没有。

J = J1*J2
simplify(J[0,0])

似乎第二个错误是第一个错误的结果。

Answer 1

在数学上，r/(r^2)^1/2= 1 并不总是正确的。如果 r 是一个非负数，则它是真的，它在极坐标中。所以你应该告诉 SymPy：

r = Symbol('r', nonnegative=True) 
theta, x, y = symbols('theta x y')

（在数学上，您甚至可以假设 r 严格为正，positive=True，因为在原点处极坐标中的导数无论如何都不起作用。）

输出会更舒服：[[1.0*cos(theta), 1.0*sin(theta)], [-sin(theta)/r, cos(theta)/r]]

只有这个1.0很烦人，哪里来的？它来自 1/2。是浮点数而不是有理数。使用Rational(1, 2) 在指数中有一个有理数（对于简化很重要）。在这种情况下，指数为 1/2，使用sqrt 更自然，它具有使指数有理且更易于键入的相同效果。

sqrt(x**2+y**2).diff(x)

最终结果是[[cos(theta), sin(theta)], [-sin(theta)/r, cos(theta)/r]]

至于三角简化，trigsimp(J1*J2) 确实返回单位矩阵。