如何使用主定理计算递归，分而治之答案

【问题标题】：How to use master theorem to calculate recursion, divide and conquer如何使用主定理计算递归，分而治之
【发布时间】：2018-03-25 03:37:05
【问题描述】：

我要计算 Θ()

Given T (n) = T (n − 1) + n^3

我不能直接应用主定理规则，因为我不知道 b 是什么，那么如何推导出 Θ() ？

【问题讨论】：

标签： algorithm divide-and-conquer master-theorem

【解决方案1】：

为什么你必须在这里使用主定理？可以直接这样解决：

T(n)   = T(n-1) + n^3
T(n-1) = T(n-2) + (n-1)^3
T(n-2) = T(n-3) + (n-2)^3
.           .        .
.           .        .
.           .        .
T(1)   = T(0)   +   1^3
----------------------- (Add them all and cancel)

T(n) = T(0) + (n(n-1)/2)^2   (Sum of the cubes of the first n numbers)

因此是O(n^4)

【讨论】：

聪明的想法。
好的，我明白了，但是这样计算太复杂了，谢谢你的回答。我对你的答案投了赞成票，但由于我的声望少于 15 个，因此尚未显示。
但就是这样。看看这个（brilliant.org/wiki/sum-of-n-n2-or-n3）。解决try yourself 挑战，然后您将获得更多关于如何解决序列的知识。

【解决方案2】：

T(n) = T(n-1) + n^3
     = T(n-2) + n^3 + (n-1)^3 
     = T(n-i+1) + (n-i)^3 + ... + (n-1)^3 + n^3
     = 1^3 + 2^3 + ... + (n/2)^3 + (n/2+1)^3 + ... + (n-1)^3
     Throw bottom half and decrease the half top to n/2
     > ((n/2)^3)*(n/2)
     Ω(n^4)

     Increase all to (n-1)
     = 1^3 + 2^3 + ... + (n/2)^3 + (n/2+1)^3 + ... + (n-1)^3 < (n-1)^3*n = O(n^4)


    T(n) = θ(n^4)

【讨论】：

好的解决方案谢谢，有没有办法直接计算1^3+3^3+...+(n+2)^3？