n个对象的等价测试答案

【问题标题】：Equivalence testing of n objectsn个对象的等价测试
【发布时间】：2014-11-27 06:24:28
【问题描述】：

假设我们有“n”个对象和一个子例程，它接受两个输入并判断它们是否相等（例如，如果它们相等，它可以将输出作为 1）。

我需要想出一个算法来调用上述函数 O(n log n) 次，并确定输入是否有超过“n/2”个彼此等价的项目。

【问题讨论】：

O(n log n) 通常暗示以某种方式进行排序。子程序真的只适用于等于还是比较两者，所以你可以用它来排序？
有一个解决方案需要 O(n) 比较。

标签： algorithm recursion divide-and-conquer

【解决方案1】：

考虑到序列是有序的，你可以使用binary search，它需要O(log n)，因为你必须对每个元素都这样做，而且你有n元素，它需要O(n*log n)。

【讨论】：

比较器似乎没有提供订购信息。
"接受两个输入并判断它们是否相等的子程序"
这通常都无关紧要，我已经阅读了几本关于算法和复杂性分析的书，即使我们的复杂性是 O(nlog n + n) 我们仍然有 ~O(nlog n ) 因为 n 比 nlog n 小，所以你可以把这个词去掉
您无法从该子例程中获得所需的信息。复杂性与它无关。
哦，好吧，我正式失去你了，不知道你在说什么。

【解决方案2】：

您可以使用 Boyer-Moore 多数投票算法，该算法最多进行 n-1 次比较。

function find_majority(A)
    majority = None
    count = 0
    for a in A:
        if count == 0
            majority = a
        else if a == majority
            count += 1
        else
            count -= 1
    return majority

如果在数组中出现超过 n/2 次，则返回最常见的元素。

如果您需要知道是否存在多数项，那么您可以对数组进行第二次遍历，计算从 find_majority 函数返回的值出现的次数。这又增加了 n 个比较。

【讨论】：

【解决方案3】：

这是一个经典的分而治之的解决方案，它给出了 O(n log n)

分成两个子集，A1 和 A2，...，显示 T(n) 为 O(n log n)。如果 A 具有多数元素 v，则 v 也必须是 A1 或 A2 或两者的多数元素。这等价的反积极重述是立即的：（如果 v 在每个中

http://anh.cs.luc.edu/363/handouts/MajorityProblem.pdf

【讨论】：

【解决方案4】：

Paul Hankin 的回答是 $\mathcal{O}(n)$ 解决方案，非常花哨。

如果不使用 Boyer-Moore，我们也可以在 $\mathcal{O}(nlogn)$ 解决这个问题。每次比较后，我们“丢弃”不同的牌组并将相等的牌组“合并”为一组，以此类推，每次我们丢弃相同数量的牌时，最后剩下的牌或牌组就是“多数” "，然后我们可以再次运行比较来检查卡是否为真。

由于我们每次丢牌，至少丢一张多数牌和另一张，所以不会影响结果，丢牌的过程是一个“抵消”操作。不管是掉落还是合并，帮助我们减少至少一半的卡。所以递归次数为 $logn$ ，总时间为 $nlogn$ 。

【讨论】：