使用主定理的推广解决方程

Question

我请求帮助解释证明的工作原理。我看过它的例子，但很难理解。

证明以下内容

方程的解

T(n) = aT(n/b) + Θ(n^k log^p n) 其中 a ≥ 1, b > 1, p ≥ 0

• T(n) = O(n^{log_b a}) 如果 a > b^k

• T(n) = O(n^k log^p+1 n) 如果 a = b^k

• T(n) = O(n^k log^p (n)) 如果 a k

Here is the screenshot of the question in a better format

这是对主定理的概括。

Answer 1

对于某些 x =log(n)/log(b) 有一个 n=b^x。将方程除以 a^x

T(b^x)/a^x = T(b^x-1)/a^{x-1 sup> + Θ((bk/a)x·xp·logp b)}

m^{·qm 项的总和对于 m}

• 以 q
• 增长像 x^p+1 for q = 1
• 以最后一项 x^p·q^x 为 q > 1

识别 q=b^k/a 并代入得到结果

• 对于 k

：T(b^x)=O(a^x) 或 T(n)=O( n^log_ba)

对于 a = b^k：T(b^x)=O(x^p+1·a^{x sup>)，或 T(n)=O(nlog_ba·logp+1n)}

对于 a > b^k：T(b^x)=O(x^p·b^kx )，或 T(n)=O(n^k·log^pn)