为什么在 ekf-slam 中计算雅可比

Question

我知道这是一个非常基本的问题，但我想知道为什么我们要在 EKF-SLAM 中计算雅可比矩阵，我已经非常努力地理解这一点，这不会那么难，但我想知道它。我想知道是否有人可以帮助我。

Answer 1

卡尔曼滤波器在线性系统上运行。这些步骤并行更新两个部分：状态x 和误差协方差P。在线性系统中，我们通过Fx 预测下一个x。事实证明，您可以将Fx 的精确协方差计算为FPF^T。在非线性系统中，我们可以将x 更新为f(x)，但是我们如何更新P？有两种流行的方法：

1. 在EKF中，我们在x处选择f()的线性近似，然后使用常用的方法FPF^T。
2. 在 UKF 中，我们构建了 x 与协方差 P 的分布的近似值。近似值是一组称为 sigma points 的点。然后我们通过真实的f(sigma_point) 传播这些状态，并测量结果分布的方差。

您关心的是 EKF（案例 1）。什么是函数的良好线性逼近？如果你放大曲线，它开始看起来像一条直线，斜率是函数在该点的导数。如果这听起来很奇怪，请查看Taylor series。多变量等价称为雅可比行列式。所以我们在x 处评估f() 的雅可比矩阵，得到F。现在是Fx != f(x)，但只要我们对x 所做的更改很小（足够小到我们近似的F 在前后不会有太大变化）就可以了。

EKF 近似的主要问题是，当我们在测量步骤之后使用近似来更新分布时，它往往会使得到的协方差P 过低。它就像以线性方式“工作”的校正一样。实际的更新将与线性近似略有不同，并且不是那么好。这些少量的过度自信随着 KF 的迭代而累积，必须通过向Q 添加一些虚构的过程噪音来抵消。