UVA - 1394：有一种算法

Question

问题的链接是UVA - 1394 : And There Was One。
简单的算法是扫描整个数组并在每次迭代中标记第 k 个元素，并在最后一次停止：这需要 O(n^2) 时间。
我已经搜索了一种替代算法并遇到了 chinese blog，它指出我使用延迟传播作为 O(N lgN) 时间的解决方案来分段树。
研究了段树后，我尝试构建一个 O(N lgN) 时间的算法，但无济于事。

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我的问题是：
1. 可以使用分段树来获得所需的运行时间吗？
2。如果是，请告诉我如何使用它们。
3。段树和“zkw”段树是一回事吗？ - 他在博客中提到了 zkw 段树。
更新： 上述问题是约瑟夫斯问题的一个例子。

Answer 1

1. 可以。

2. 你可以在下面看到数据结构的描述，这里我只是提示如何在给定的问题中使用它。 我们所代表的人口显然是石头圈。我们从所有 N 个石子都活着开始，然后在每一步杀死我们树中的适当石子。 只需要知道我们当前处于哪个元素（我认为称其为 m 比较合适）。高级算法（我把细节留给你）如下（P是我们的数据结构）：

   While P.size > 1:
     P.toggle(m) // remove the m-th stone
     m = P.kth(next stone to be killed)
   

   上面代码中的 P.size 就是所有剩余棋子的数量。 在下面的描述中，它对应于tree[1]。

   注意：数据结构中使用的符号k与问题输入中代表跳跃距离的符号不同。 p>

3. 差不多。我以前没见过这个名字，但代码看起来和我见过的人们称之为population tree的代码一样。

   人口树是使用分段树的一种简单方法。你有 N 个元素，每个元素都有两种可能的状态：1 表示活着，0 表示死亡。树支持两种操作：

   • 切换编号为 i 的元素的状态。
   • 返回第 k-th 活元素的索引（以其索引的大小）。
     
     

   为了阐明第二个操作，假设一组活元素是 {1, 2, 4, 7}。 如果 N = 8，则对应状态数组 01101001（元素 0 已死亡，元素 1 处于活动状态，元素 3 处于活动状态，依此类推）。

   那么，如何实现呢？ 像往常一样，树的叶子对应于 array。也就是说，如果第 i 个元素是活动的，则第 i 个叶子的值为 1，否则为 0。 每个内部节点都会记住其子节点的值之和。

   为了切换元素的状态，我们切换相应叶子的值，然后固定从该叶子到根的路径：

   const int size = 1 << 18; // 2^17 elements, the rest are internal nodes
   int tree[size]; // number of living elements in the subtree of a node
   
   void toggle(int i) {
     tree[i + size / 2] ^= 1; // toggle the leaf
     for (i /= 2; i > 0; i /= 2)
       tree[i] = tree[2 * i] + tree[2 * i + 1];
   }
   

   注意：标记节点的常用方法是使 root 等于 1，并递归地， 节点 n 的子节点是 2n 和 2n+1。

   要找到第 k-th 个生活元素，我们可以递归思考： 我们目前在节点 n 处，并且正在寻找其子树的第 k-th 个活元素（节点的子树是根于该节点的树）。 如果n的左孩子2n有k或更多的活元素，设置n = 2n。 否则，我们显然会找到正确的孩子，即设置 n = 2n+1。 在这种情况下，我们不再寻找子树的第 k-th 个活元素。 因为我们跳过了左孩子的所有生活元素，所以我们从 k 中减去该计数。为简单起见，我们在此查看基于 1 的生活元素。

   这里的基本思想可能是递归的，但描述暗示迭代地做它也应该很简单：

   int kth(int k) {
     ++k; // because this method looks at elements 1-based
     int current_node = 1; // start at the root
     while (current_node < size / 2) {
       if (tree[2 * current_node] >= k) 
         current_node = 2 * current_node; // descend into the left child
       else {
         k -= tree[2 * current_node]; // fix k
         current_node = 2 * current_node + 1; // descend into the right child
       }
     }
   }
   

   这两个功能使细分树成为人口树。

这是一个数据结构问题，因此所描述的想法使用了数据结构。 但是，我想提一下，这个问题被称为 约瑟夫斯问题，并且有替代解决方案，因此您可能有兴趣查找它。