使用定点显示平方根

Question

在SICP的练习中，它定义了一个不动点作为满足方程F(x)=x的函数。并迭代查找函数停止更改的位置，例如F(F(F(x)))。

我不明白的是，9 的平方根与它有什么关系。

例如，如果我有F(x) = sqrt(9)，显然x=3。然而，这与做事有何关系：

F(F(F(x))) --> sqrt(sqrt(sqrt(9)))

我相信它会收敛到零：

>>> math.sqrt(math.sqrt(math.sqrt(math.sqrt(math.sqrt(math.sqrt(9))))))
1.0349277670798647

因为当 x=1 时 F(x) = sqrt(x)。换句话说，求常数的平方根与求函数的不动点有什么关系？

Answer 1

当计算一个数的平方根时，比如说a，你基本上有一个x^2 - a = 0 形式的方程。也就是说，要找到a 的平方根，你必须找到一个x 使得x^2 = a 或x^2 - a = 0——将后一个方程称为（1）。 (1) 中给出的形式是一个形式为g(x) = 0 的方程，其中g(x) := x^2 - a。

要使用定点法计算该方程的根，您必须对现有方程进行一些细微修改，并将其转化为f(x) = x 的形式。一种方法是将 (1) 重写为 x = a/x——称之为 (2)。现在在(2)中，你已经得到了用不动点法求解方程所需的形式：f(x)是a/x。

请注意，此方法要求等式两边都有一个“x”项； sqrt(a) = x 形式的方程不符合规范，因此无法使用定点法（迭代地）求解。

我不明白的是，9 的平方根与它有什么关系。

例如，如果我有 F(x) = sqrt(9)，显然 x=3。然而，这与做什么有什么关系：F(F(F(x))) --> sqrt(sqrt(sqrt(9)))

这些是非线性方程根数值计算的标准方法，它本身就是一个相当复杂的主题，通常在工程课程中涵盖。因此，如果您没有掌握“窍门”，请不要担心，作者可能认为这是迭代问题解决的一个很好的例子。