没有 arr 的箭头答案

【问题标题】：Arrow without arr没有 arr 的箭头
【发布时间】：2014-08-19 23:50:15
【问题描述】：

如果我们将我们对类别的理解限制为 Haskell 中常见的 Category 类：

class Category c where
  id :: c x x
  (>>>) :: c x y -> c y z -> c x z

那么假设Arrow 是Category，它还可以：

class Category c => Arrow c where
  (***) :: c x y -> c x' y' -> c (x,x') (y,y')
  (&&&) :: c x y -> c x y' -> c x (y,y')

我们可以很容易推导出：

first :: c x y -> c (x,z) (y,z)
first a = a *** id

second :: c x y -> c (z,x) (z,y)
second a = id *** a

或者我们可以从first和second推导出(***)：

a1 *** a2 = first a1 >>> second a2

我们也可以推导出来：

dup :: c x (x,x)
dup = id &&& id

或者我们可以在给定dup和(***)的情况下推导出(&&&)：

a1 &&& a2 = dup >>> (a1 *** a2)

我的观点和问题是什么？是这样的：

没有arr 的Arrow 是什么？它似乎完全连贯且有用。是否有任何不涉及arr 并在此处保持不变的箭头法（除了类别法）？这在范畴论中意味着什么？

我基本上是从 reddit 上偷来的这个问题，但对其进行了概括和阐述： http://www.reddit.com/r/haskell/comments/2e0ane/category_with_fanout_and_split_but_not_an_arrow/

【问题讨论】：

我在my constrained-categories project 有这门课，有点愚蠢地叫Morphism。一些法律仍然有意义，即使周围没有任何功能......像fst或const这样的东西是该包中其他类的方法，需要用于正确制定法律。如果 Edward、Conal 或其他人还没有在某个地方做过那件事，我会感到惊讶，但我不知道叫什么名字......
您可能想了解Generalized Arrows。

标签： haskell arrows category-theory

【解决方案1】：

正如Arrow 是一个有产品的类别一样，Arrow 没有arr 也是一个有产品的类别（因此类别法则始终成立）。

arr 是从 Hask 类别到 c 类别的函子。下面显示的代码表明了这一点。 arr 提供了一种将普通函数（Hask 中的态射）提升到实例化 c 类别的方法。这有点像fmap（从 Hask 到 Hask 的 endofunctor），但更通用。与此相关，一些箭头定律here 描述了函子定律（尽管也有乘积定律）。

因此，通过省略arr，您将失去提升正常功能的功能，或者从另一个角度来看，您将无法实现它。但是，所有其他特征都是相同的。

{-# LANGUAGE TypeOperators, RankNTypes #-}

-- | Functor arrow
type (:->) c d = forall a b. c a b -> d a b

-- | Hask category; types are objects, functions are morphisms.
type Hask = (->)

arr :: Arrow c => Hask :-> c
arr = Control.Arrow.arr

【讨论】：