具有完整子结构的矩阵的“矩阵分解”

Question

在我开始之前，我必须说，对于那些有线性代数背景的人来说，这不是你所知道的矩阵分解。请阅读以下段落，以更清楚地了解我要解决的问题。

以下是矩阵及其子矩阵的显着属性/定义：

1. 我有一个 SxP 矩阵，它形成了一个 S.P“盒子”的网格状结构。这是主矩阵。

这就是（空）主矩阵的样子。矩阵中的每个正方形都简称为一个框。矩阵可以看作是一种“游戏板”，例如棋盘。纵轴使用区间尺度（即实数）测量，横轴使用单调递增的非负整数测量。

1. 还有一个额外的子矩阵概念（如前所述）。子矩阵只是特定配置中的框的集合，并具有特定的编号和片段类型（请参见下面的黑白片段），分配给框。我有一组有限的这些 子矩阵 - 我将其称为我的 lexicon 或用于执行有效矩阵组合/分解的词汇表。

子矩阵的“正式”定义是它是包含在主矩阵中的 M 个框的配置，满足标准：

• 1
• 任意两个相邻框之间的“间隙”G（即距离）满足：1

垂直单位是主矩阵中垂直轴线之间的间隙。下图中，垂直单位为100。

上图展示了一个简单的子矩阵加法。带有橙色边框/框的单元是子矩阵 - 构成我词典一部分的公认单元。您会注意到我在子矩阵中引入了进一步的注释。这是因为（使用国际象棋类比），我可以在棋盘上使用两种类型的棋子。 B 表示黑色棋子，W（图中未显示）表示白色棋子。一个可识别的单元（或词素/子矩阵） 有一个简单的等价关系，允许在白色块和黑色块之间进行转换。这种关系可用于进一步分解子矩阵，以仅使用黑色块、白色块或两者的组合。

为了简单起见，我省略了指定等价关系。但是，如果有人觉得提出的问题在没有额外细节的情况下不是“太难”，我很乐意扩大范围。目前，我正努力使事情尽可能简单，以避免将人们与“信息过载”混淆。

1. 子矩阵中的每个框都包含一个有符号整数，表示项目的单元数。盒子的每个“配置”（连同其有符号整数和棋子类型，即黑色或白色棋子）都被称为“可识别单元”。

2. 子矩阵可以以重叠的方式放置在主矩阵中。无论“框”在哪里重叠，生成的子矩阵框中的单元数是组成框中单元数的总和（如上图第二张所示）。

问题变得有点困难，因为上面定义的“识别单元”有时会与其他“识别单元”组合形成另一个“识别单元” - 即子矩阵（即识别单元）是"holons"。例如，在上面的第二张图中，被添加到矩阵中的识别单元本身可以进一步分解为“更小的”子矩阵。

这种holarchy 类似于（在物理化学中）元素如何形成化合物，然后再形成更复杂的化合物（氨基酸、蛋白质等）。

回到我们的问题，给定一个主矩阵 M，我希望能够做到以下几点：

我。识别包含在主矩阵中的子矩阵（或识别的单元）。这是第一次“矩阵分解”。 （注意：子矩阵必须满足上面给出的标准）

二。对于每个已识别的子矩阵，我希望能够识别它是否可以进一步分解为 2 个或更多已识别的子矩阵。这个想法是迭代分解在上面步骤 i 中找到的子矩阵，直到达到指定的层次结构级别，或者直到我们有一个无法进一步分解的有限子矩阵集。

我正在尝试提出一种算法来帮助我完成上述 (i) 和 (ii)。我将在 C++、Python 或 C# 中实现逻辑（优先级越来越高），这取决于哪一个最容易做和/或我碰巧在哪个 sn-ps 中开始实现算法。

Answer 1

我不确定我是否正确理解了这个问题。

所以首先你想要找到所有符合你的 2 标准的子矩阵。 这就像我认为的图分解问题或集合覆盖问题，您可以在其中使用递归函数并迭代矩阵以找到所有可用的子矩阵。

enum PieceTypes
{
    White,
    Black
}

class Box
{
    public PieceTypes PieceType { get; set; }

    public uint Units { get; set; }

    public int s, p;
    public Box(PieceTypes piecetype, uint units)
    {
        PieceType = piecetype;
        Units = units;
    }
}

class Matrix
{
    public Box[,] Boxes;
    public int Scale, S, P, MaxNum, MaxDist;
    public List<List<Box>> Configurations;
    public Matrix(int s, int p, int scale, int maxnum, int maxdist)
    {
        S = s;
        P = p;
        Scale = scale;
        Boxes = new Box[S, P];
        MaxNum = maxnum;
        MaxDist = maxdist;
        Configurations = new List<List<Box>>();
    }

    public void Find(List<Box> Config, int s, int p)
    {
        // Check the max number thats valid for your configuration
        // Check that the current p and s are inside matrix
        if (Config.Count() < MaxNum && s >= 0 && s < S && p >= 0 && p < P)
        {

            foreach (Box b in Config)
            {
                if (Valid(b, Boxes[s, p]))
                {
                    Boxes[s, p].s = s;
                    Boxes[s, p].p = p;
                    Config.Add(Boxes[s, p]);
                    break;
                }

            }
            Find(Config, s + 1, p);
            Find(Config, s - 1, p);
            Find(Config, s, p + 1);
            Find(Config, s, p - 1);
        }
        if (Config.Count() > 0) Configurations.Add(Config);
        Config.Clear();
    }

    public bool Valid(Box b1, Box b2)
    {
        // Create your dist funtion here
        // or add your extra validation rules like the PieceType
        if (Math.Sqrt((b1.s - b2.s) ^ 2 + (b1.p - b2.p) ^ 2) <= MaxDist && b1.PieceType == b2.PieceType) return true;
        else return false;
    }

}

我没有使用最好的数据结构，我简化了解决方案。我希望它对您有所帮助。