证明山构造算法的正确性

Question

我们正计划在一座有几座山峰的山上建造一个滑雪胜地。为了让滑雪路线尽可能的长，我们决定通过削山填海的方式，让这座山只有一个山峰。为了节省施工成本，我们必须尽量减少切割和填充量。我们将问题表述如下：

给定一个整数元素列表 f，创建一个新列表 g（整数元素）：

1. sum(f) = sum(g)
2. g 的元素只有一个峰； g 必须单调增加，直到达到峰值，然后单调减少。
3. 我们希望将成本降到最低；成本为 sum((f[i] - g[i])**2 for i in range(len(f))

另外，为了简化问题，我们排除了具有多个最大峰值的输入，即没有给出 [3, 6, 5, 6, 2]。

以下代码是我的解决方案（非常直观）。 解决方案中的峰值将与给定列表中的最大峰值相同。然后，在g不是山形（先增大后减小）的情况下，将两个元素的值修改为它们的平均值。

我检查了代码是否返回了正确的解决方案。但是，我无法证明它的正确性。

def solve(f):
    n, idx = len(f), f.index(max(f))
    def isMt(L):
        for i in range(idx):
            if not L[i] <= L[i+1]: return False
        for i in range(idx, len(L)-1):
            if not L[i] >= L[i+1]: return False
        return True
    g = f[:]
    while not isMt(g):
        for i in range(idx):
            if not g[i] <= g[i+1]:
                S = (g[i] + g[i+1])
                g[i], g[i+1] = S // 2, S // 2 + S % 2
        for i in range(idx, n-1):
            if not g[i] >= g[i+1]:
                S = (g[i] + g[i+1])
                g[i], g[i+1] = S // 2 + S % 2, S // 2
    return g

Answer 1

您的代码不正确。例如，对于以下输入：

[1, 5, 6, 2, 7]

您的代码产生以下输出：

[1, 4, 4, 5, 7]

尽管存在更好的选择：

[1, 4, 5, 5, 6]

此外，根据所使用的“单调”定义，您的山坡实际上可能不是单调递增/递减的。