自顶向下动态规划算法的运行时间答案

【问题标题】：Runtime of top down dynamic programming algorithm自顶向下动态规划算法的运行时间
【发布时间】：2020-03-02 20:27:21
【问题描述】：

我为一项任务提出了以下算法。主要是第 23-24 行中的 for 循环让我不确定。

function TOP-DOWN-N(C, n, p)
  let N[1...n, 1...C] be a new array initialized to -1 for all indicies
  return N(C, n)

function N(C, n)
  if N[C,n] >= 0 then
    return N[C,n]
  if C < 0 or n < 1 then
    return 0
  elif C = 0 then
    return 1
  elif C > 0 and i > 0 then
    r = 0
    for i = 0 to n do
      r += N(C-p[n-i], n-(i+1))
    N[C,n] = r
    return N

【问题讨论】：

至于分析，您是正确的，最多 O(nC) 调用可能花费 O(1) 时间以上，但您仍然需要计算花费 O(1) 时间的那些因为可能有很多。
花费 O(1) 时间的那些不会改变算法的运行时间将为 O(nC)，对吗？我现在用伪代码把它打出来。
如果发生循环的地方有 O(nC) 个调用，并且每个调用都有一个 O(n) 次迭代的循环，那么总复杂度应该是 O(n^2 C)，应该不是吗？这是假设循环体花费恒定的时间，这不是严格正确的，但是是一种有效的简化，因为已经考虑了从循环内进行的递归调用。但是，循环本身执行 O(n) 次函数调用和 O(n) 次加法。
你可能是对的。让我失望的是 - 如果函数调用终止为 N[C,n] >= 0 那么这将不会到达 for 循环。
要使N[C,n] >= 0 条件为真，那么它在过去的某个时刻一定是假的，具有相同的C 和n 值，否则该数组单元将永远不会有已写入。

标签： algorithm time time-complexity dynamic-programming

【解决方案1】：

让我们忽略这个算法是递归实现的事实。一般来说，如果动态规划算法正在构建一个包含 N 个结果的数组，并且计算每个结果需要使用该数组中的 k 个其他结果的值，那么它的时间复杂度是 Ω(Nk)，其中 Ω 表示一个下限。这应该很清楚：使用 k 值来计算结果需要 Ω(k) 时间，并且您必须这样做 N 次。

另一方面，如果计算不做任何渐近比从数组中读取 k 值更耗时的事情，那么 O(Nk) 也是一个上限，因此时间复杂度为 Θ(Nk)。

因此，按照这种逻辑，我们应该期望您的算法的时间复杂度为 Θ(n²C)，因为它构建了一个大小为 nC 的数组，计算每个结果使用 Θ(n)该数组的其他结果，并且该计算不受其他事物的支配。

但是，您的算法比迭代实现具有优势，因为它不必计算数组中的每个结果。例如，如果数字 1 不在数组 p 中，那么您的算法将不会为任何 n' 计算 N(C-1, n')；如果p 中的数字都大于或等于C，则循环只执行一次，运行时间主要取决于必须初始化大小为nC 的数组。

由此可知 Θ(n²C) 是最坏情况时间复杂度，最好情况时间复杂度是 Θ(nC)。

【讨论】：