有向图（拓扑排序）

Question

假设存在一个有向图G(V, E)（V 表示顶点，E 表示边），其中每条边 (x, y) 与权重 (x, y) 相关联，其中权重是介于 1 和10.

假设s 和t 是V 中的一些顶点。

我想在 O(m + n) 时间内计算从s 到t 的最短路径，其中m 是顶点数，n 是边数。

我在实施拓扑排序以实现这一目标时是否走在正确的轨道上？还是我忽略了另一种技术？

Answer 1

您需要用于在加权图中找到从给定顶点到另一个顶点的最小路径的算法是Dijkstra's algorithm。不幸的是，它的复杂性是O(n*log(n) + m)，这可能比您尝试完成的要多。

但是，在您的情况下，边缘是特殊的 - 它们的权重只有 10 个有效值。因此，您可以实现一个特殊的数据结构（一种堆，但利用 wights 的小数据集）以使所有操作保持不变。

一种可能的方法是设置 10 个列表 - 每个重量一个。在数据结构中添加边只是附加到列表中。找到最小元素是遍历 10 个列表以找到第一个非空的。这仍然是恒定的，因为将执行不超过 10 次迭代。删除最小元素也很简单——从列表中简单地删除。

使用具有相同渐近复杂度的一些数据结构的 Dijkstra 算法将是您所需要的。