LCS算法：如何从一个表中找出，找到了多少个最长公共子序列？

Question

我在 C# 中实现了最长公共子序列问题。我需要检测两个字符串之间的所有常见的最大子序列。

为此，我使用Needleman-Wunsch algorithm 创建了一个表来存储每个计算步骤的 LCS 序列。

是否有机会确定，找到了多少个最大子序列（使用表格）？

基于此，我想选择一种方法来收集每个子序列。关键是，对于一个子序列，不需要递归，因此它会提供更好的性能。这对我的任务至关重要。

这是一个代码 sn-p，其中实现了项目的基本功能：

    private static int[][] GetMatrixLCS(string x, string y)
        {
            var lenX = x.Length;
            var lenY = y.Length;
            matrixLCS = new int[lenX + 1][];
            for (var i = 0; i < matrixLCS.Length; i++)
            {
                matrixLCS[i] = new int[lenY + 1];
            }
            for (int i = 0; i <= lenX; i++)
            {
                for (int j = 0; j <= lenY; j++)
                {
                    if (i == 0 || j == 0)
                        matrixLCS[i][j] = 0;
                    else
                    if (x[i - 1] == y[j - 1])
                        matrixLCS[i][j] = matrixLCS[i - 1][j - 1] + 1;
                    else
                        matrixLCS[i][j] = Math.Max(matrixLCS[i - 1][j], matrixLCS[i][j - 1]);
                }
            }
            return matrixLCS;
        }

    static HashSet<string> FindAllLcs(string X, string Y, int lenX, int lenY)
        {
            var set = new HashSet<string>();
            if (lenX == 0 || lenY == 0)
                return emptySet;
            if (X[lenX - 1] == Y[lenY - 1])
            {
                var tempResult = FindAllLcs(X, Y, lenX - 1, lenY - 1);
                foreach (var temp in tempResult)
                    set.Add(temp + X[lenX - 1]);
                return set;
            }
            if (matrixLCS[lenX - 1][lenY] >= matrixLCS[lenX][lenY - 1])
                set = FindAllLcs(X, Y, lenX - 1, lenY);
            if (matrixLCS[lenX][lenY - 1] >= matrixLCS[lenX - 1][lenY])
                set.UnionWith(FindAllLcs(X, Y, lenX, lenY - 1));
            return set;
        }

以及具有两种输入和预期输出的示例：

    public void SingleOutput()
    {
    var sequence = LCS.FindLCS("ABC", "AB");
    Assert.AreEqual(1, sequence.Length);
    Assert.AreEqual("AB", sequence[0]);
    }

    public void MultipleOutput() 
    { 
    var sequence = LCS.FindLCS("BCAB", "ABC"); 
    Assert.AreEqual(2, sequence.Length); 
    Assert.AreEqual("AB", sequence [0]);
    Assert.AreEqual("BC", sequence [1]);
    }

我们将不胜感激。

Answer 1

我认为可以稍微不同地考虑动态编程。也许它可以工作：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;


struct TLSTValue {
    int len;
    int cnt;
};


void update(TLSTValue& v, const TLSTValue& u) {
    if (u.cnt == 0) {
        return;
    }
    if (u.len > v.len) {
        v.len = u.len;
        v.cnt = u.cnt;
    } else if (u.len == v.len) {
        v.cnt += u.cnt;
    }
}

int main(int /* argc */, char** /* argv */)
{
    string a, b;
    while (cin >> a >> b) {
        int n = a.size();
        int m = b.size();

        vector<vector<int>> nxt(n, vector<int>(m));
        for (int j = 0; j < m; ++j) {
            int lst = n;
            for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
                if (a[i] == b[j]) {
                    lst = i;
                }
                nxt[i][j] = lst;
            }
        }

        vector<vector<TLSTValue>> f(n + 1, vector<TLSTValue>(m + 1, {0, 0}));
        f[0][0]= {0, 1};
        TLSTValue ans = {0, 0};
        for (int i = 0; i <= n; ++i) {
            unordered_set<char> st;
            for (int j = 0; j <= m; ++j) {
                update(ans, f[i][j]);
                if (j) {
                    update(f[i][j], f[i][j - 1]);
                }
                if (st.count(b[j])) {
                    continue;
                }
                st.insert(b[j]);
                if (i < n && j < m && f[i][j].cnt && nxt[i][j] < n) {
                    update(f[nxt[i][j] + 1][j + 1], {f[i][j].len + 1, f[i][j].cnt});
                }
            }
        }
        cout << a << " and " << b << ": length = " << ans.len << ", count = " << ans.cnt << endl;
    }

    cerr << "Time execute: " << clock() / (double)CLOCKS_PER_SEC << " sec" << endl;
    return 0;
}

nxt[i][j] 是字符串a 中从i 位置开始的第一个位置@ 字符串b 中位置为j 的字符。 f[i][j] 是长度和计数 LCS，它以字符串 a 中的字符 i - 1 和字符串 b 中的位置 j 之前结束。

你可以试试代码here。

一些测试的输出：

ABC and AB: length = 2, count = 1
BCAB and ABC: length = 2, count = 2
A and AAA: length = 1, count = 1
AAA and A: length = 1, count = 1
AAAB and ABBB: length = 2, count = 1
ABBB and AAAB: length = 2, count = 1

Answer 2

最简单的方法是使用朴素实现通过矩阵记录迭代期间的所有匹配项。

我需要allLCS() 进行测试，如果其他算法提供有效的解决方案，它必须是所有可能的 LCS 之一。

代码在github。

它在 Perl 中，但很容易理解。遍历矩阵并在单元格中添加匹配项。最后右下角的单元格包含 LCS 的长度。这就是天真的算法。现在在每次匹配时将坐标记录为哈希中的数组 [i,j]，匹配计数作为键。

# get all LCS of two arrays
# records the matches by rank
sub allLCS {
  my ($self,$X,$Y) = @_;

  my $m = scalar @$X;
  my $n = scalar @$Y;

  my $ranks = {}; # e.g. '4' => [[3,6],[4,5]]
  my $c = [];
  my ($i,$j);

  for (0..$m) {$c->[$_][0]=0;}
  for (0..$n) {$c->[0][$_]=0;}
  for ($i=1;$i<=$m;$i++) {
    for ($j=1;$j<=$n;$j++) {
      if ($X->[$i-1] eq $Y->[$j-1]) {
        $c->[$i][$j] = $c->[$i-1][$j-1]+1;
        push @{$ranks->{$c->[$i][$j]}},[$i-1,$j-1];
      }
      else {
        $c->[$i][$j] =
          ($c->[$i][$j-1] > $c->[$i-1][$j])
            ? $c->[$i][$j-1]
            : $c->[$i-1][$j];
      }
    }
  }
  my $max = scalar keys %$ranks;
  return $self->_all_lcs($ranks,1,$max);
} 

最后，这个记录的匹配集合通过_all_lcs()方法连接起来：

sub _all_lcs {
  my ($self,$ranks,$rank,$max) = @_;

  my $R = [[]];

  while ($rank <= $max) {
    my @temp;
    for my $path (@$R) {
      for my $hunk (@{$ranks->{$rank}}) {
        if (scalar @{$path} == 0) {
          push @temp,[$hunk];
        }
        elsif (($path->[-1][0] < $hunk->[0]) && ($path->[-1][1] < $hunk->[1])) {
          push @temp,[@$path,$hunk];
        }
      }
    }
    @$R = @temp;
    $rank++;
  }
  return $R;
}

代码灵感来源于论文

罗纳德·格林伯格。 Fast and Simple Computation of All Longest Common Subsequences