如何计算两点之间的 3D 角度？

Question

假设我有两个顶点，我想知道这两个顶点之间的 3D 角度。通过 3D 角度，我的意思是在每个三维平面上一个顶点与另一个顶点之间的角度，存储为

{ x, y, z }

function getAngleBetweenVertices(vert1, vert2){
  return {
    x: 0, // ?
    y: 0, // ?
    z: 0  // ?
  }
}

// Classes

class Vertex {
  constructor(position){
    this.position = {
      x: 0,
      y: 0,
      z: 0,
      ...position
    };
  }
}

// Init

let vert1 = new Vertex({ x: 1, y: 0, z: 1 });
let vert2 = new Vertex({ x: 0, y: 1, z: 1 });
let angle = getAngleBetweenVertices(vert1, vert2);
console.log("angle ", angle);

例如，在上图中，我在一条连接三角形上两个顶点的线段上进行了追踪。应该可以求出x、y、z轴上两个顶点位置的夹角。

如何计算两个顶点之间的三维角度？

Answer 1

您可以像这样在两个方向v1,v2（向量）之间设置角度：

ang = acos(dot(v1,v2)/(|v1|.|v2|))

在 3D 中转换为：

ang = acos( (x1*x2 + y1*y2 + z1*z2) / sqrt( (x1*x1 + y1*y1 + z1*z1)*(x2*x2+y2*y2+z2*z2) ) )

但是，两点之间不能有毫无意义的角度。还要注意 3D 角度不是您认为的那样（它的球面度角，您可以将其视为体积覆盖范围......法线角度是区域覆盖范围），是的，它也是标量值。因此，您正在寻找的是 方向余弦 或 欧拉角（您需要更多信息和变换顺序才能不雄心勃勃）或 transform matrices。

但我怀疑这是一个 XY 问题，根据你的 cmets 我是对的。

所以你的真正的问题（基于 cmets）是找到来自（三角形）面的反射光线。使用角度（方向余弦、欧拉角或变换矩阵）是一个非常糟糕的主意，因为这会非常慢。而是使用简单的向量数学，我看到它是这样的：

所以你得到了光线方向dir 并希望从面部反射一个dir' 与正常nor 所以：

dir' = 2 * ( nor*dot(-dir,nor) + dir ) - dir
dir' = 2 * ( -nor*dot(dir,nor) + dir ) - dir
dir' = -2*nor*dot(dir,nor) + 2*dir - dir
dir' = -2*nor*dot(dir,nor) + dir
dir' = dir-2*nor*dot(dir,nor)

所以在 3D 中是：

dir=(dx,dy,dz)
nor=(nx,ny,nz)
t = 2*(dx*nx + dy*ny + dz*nz) // 2*dot(dir,nor)
dx' = dx-t*nx
dy' = dy-t*ny
dz' = dz-t*nz

正如您所见，不需要任何角度测量或角度...同样，如果法线点进入或离开面部/对象，dot 会自行处理标志...

如果您需要法线，可以通过其两条边的叉积来计算，因此如果三角形由v0,v1,v2 点定义，则：

nor = cross( v1-v0 , v2-v1 )

这是我将这种技术用于光线追踪器的示例：

• Reflection and refraction impossible without recursive ray tracing?

它的我的 GLSL 光线追踪器支持三角形面的反射，并且它没有测角仪...在片段着色器中寻找 // reflect 评论特别寻找：

ray[rays].dir=ray[rays].dir-(2.0*t*ray[rays].nor);

它的反射在哪里

t=dot(ray[i0].dir,ray[i0].nor);

其中dir 是光线方向，nor 是面法线（看起来很熟悉？是的，它是相同的方程）...

Answer 2

我不确定这段代码是否正确，但我认为这是我要找的。​​p>

// Utilities

function normalizeAngle(angle){
  if (angle > 360) return angle - 360;
  if (angle < 0) return 360 + angle;
  else return angle;
}

function getAngleBetweenPoints(cx, cy, ex, ey){
  var dy = ey - cy;
  var dx = ex - cx;
  var theta = Math.atan2(dy, dx);
  theta *= 180 / Math.PI;
  return theta;
}

function getAngleBetweenVertices(vert1, vert2){
  return {
    x: normalizeAngle(getAngleBetweenPoints(vert1.position.z, 
        vert1.position.x, vert2.position.z, vert2.position.x)),
    y: normalizeAngle(getAngleBetweenPoints(vert1.position.z, 
        vert1.position.y, vert2.position.z, vert2.position.y)),
    z: normalizeAngle(getAngleBetweenPoints(vert1.position.x, 
        vert1.position.y, vert2.position.x, vert2.position.y))
  }
}

// Classes

class Vertex {
  constructor(position){
    this.position = {
      x: 0,
      y: 0,
      z: 0,
      ...position
    };
  }
}

// Init

let vert1 = new Vertex({ x: 1, y: 0, z: 1 });
let vert2 = new Vertex({ x: 0, y: 1, z: 1 });
let angle = getAngleBetweenVertices(vert1, vert2);
console.log("angle ", angle);

Answer 3

这就是我在 Cinema 4d python 中计算 3d 点之间角度的方法...不，感谢互联网：

def GetAngle(self, a, b):
    length = math.sqrt((a.x - b.x)**2 + (a.y - b.y)**2 + (a.z - b.z)**2)
    rise = b.y - a.y
    run = math.sqrt((length**2) - (rise**2))
    angle = math.degrees(math.atan(rise/run))
    return angle