迭代平滑曲线

Question

我一整天都在尝试这样做。基本上，我有一条线和一个点。我希望线弯曲并通过该点，但我不想要平滑的曲线。我不能像这样定义曲线中的步数（当心粗略的 mspaint 绘图）：

等等。我尝试了各种方法，比如从初始线的中心取角度，然后在角度引导的点处分割线，但长度有问题。我只取初始长度并除以我所处的步数，但这不太正确。

有人知道怎么做吗？

谢谢。

Answer 1

你可以反过来：首先找到一条匹配的曲线，然后使用曲线上的点来绘制线条。例如：

该图是通过以下方式获得的：

假设你有三个起点{x0,0},{x1,y1},{x2,0}

然后你会发现两条抛物线在 {x1,y1} 处相交，附加条件是在该点处具有最大值（用于平滑过渡）。这些曲线是：

 yLeft[x_] := a x^2 + b x + c; 
 yRight[x_] := d x^2 + e x + f;

我们在哪里找到（经过一些微积分）：

   {c -> -((-x0^2 y1 + 2 x0 x1 y1)/(x0 - x1)^2), 
    a -> -(y1/(x0 - x1)^2), 
    b -> (2 x1 y1)/(-x0 + x1)^2}  

和

   {f -> -((2 x1 x2 y1 - x2^2 y1)/(x1 - x2)^2), 
    d -> -(y1/(x1 - x2)^2), 
    e -> (2 x1 y1)/(x1 - x2)^2}

所以我们有两条曲线。

现在你应该注意，如果你想让你的点等间距，x1/x2 应该是一个有理数。你的步数选择是有限的。您可以选择从 x0 开始时经过 x1 和 x2 的步数。 （格式为 x1/(n * x2)）

仅此而已。现在你根据点 {x,yLeft[x]} 或 {x,yRight[x]} 形成你的线，这取决于你在 x1 的哪一边。

注意：您可以选择只绘制一条经过您的三个点的抛物线，但在一般情况下会导致高度不对称。

如果点x1在中间，结果会更好：

Answer 2

您可能需要自己编写代码。我认为您可以通过在代码中实现二次贝塞尔曲线函数来做到这一点，可以在 here 找到。您可以通过仅求解几个值来决定您希望增量的精细程度。如果你想要一条直线，只求解 0 和 1 并用线连接这些点。如果您想要一个角度的示例，请求解 0、0.5 和 1 并按顺序连接这些点。如果您想要第三个示例，请求解 0、0.25、0.5、0.75 和 1。最好将它放在这样的 for 循环中：

float stepValue = (float)0.25;
float lastCalculatedValue;
for (float t = 0; t <= 1; t += stepValue)
{
    // Solve the quadratic bezier function to get the point at t.
    // If this is not the first point, connect it to the previous point with a line.
    // Store the new value in lastCalculatedValue.
}

编辑：实际上，您似乎希望线通过您的控制点。如果是这种情况，您不想使用二次贝塞尔曲线。相反，您可能需要拉格朗日曲线。这个网站可能有助于解决这个问题：http://www.math.ucla.edu/~baker/java/hoefer/Lagrange.htm。但无论哪种情况，您都可以使用相同类型的循环来控制平滑度。

第二次编辑：这似乎有效。只需将 numberOfSteps 成员更改为您想要的线段总数并适当地设置点数组。顺便说一句，您可以使用三个以上的点。它只会在它们之间分配线段的总数。但我初始化了数组，结果看起来就像你的最后一个例子。

第三次编辑：我对代码进行了一些更新，因此您可以左键单击表单以添加点，然后右键单击以删除最后一个点。另外，我在底部添加了一个 NumericUpDown，以便您可以在运行时更改段数。

public class Form1 : Form
{
    private int numberOfSegments = 4;

    private double[,] multipliers;
    private List<Point> points;

    private NumericUpDown numberOfSegmentsUpDown;

    public Form1()
    {
        this.numberOfSegmentsUpDown = new NumericUpDown();
        this.numberOfSegmentsUpDown.Value = this.numberOfSegments;
        this.numberOfSegmentsUpDown.ValueChanged += new System.EventHandler(this.numberOfSegmentsUpDown_ValueChanged);
        this.numberOfSegmentsUpDown.Dock = DockStyle.Bottom;
        this.Controls.Add(this.numberOfSegmentsUpDown);

        this.points = new List<Point> { 
            new Point(100, 110), 
            new Point(50, 60), 
            new Point(100, 10)};

        this.PrecomputeMultipliers();
    }

    public void PrecomputeMultipliers()
    {
        this.multipliers = new double[this.points.Count, this.numberOfSegments + 1];

        double pointCountMinusOne = (double)(this.points.Count - 1);

        for (int currentStep = 0; currentStep <= this.numberOfSegments; currentStep++)
        {
            double t = currentStep / (double)this.numberOfSegments;

            for (int pointIndex1 = 0; pointIndex1 < this.points.Count; pointIndex1++)
            {
                double point1Weight = pointIndex1 / pointCountMinusOne;

                double currentMultiplier = 1;
                for (int pointIndex2 = 0; pointIndex2 < this.points.Count; pointIndex2++)
                {
                    if (pointIndex2 == pointIndex1)
                        continue;

                    double point2Weight = pointIndex2 / pointCountMinusOne;
                    currentMultiplier *= (t - point2Weight) / (point1Weight - point2Weight);
                }

                this.multipliers[pointIndex1, currentStep] = currentMultiplier;
            }
        }
    }

    protected override void OnPaint(PaintEventArgs e)
    {
        base.OnPaint(e);

        Point? previousPoint = null;
        for (int currentStep = 0; currentStep <= numberOfSegments; currentStep++)
        {
            double sumX = 0;
            double sumY = 0;
            for (int pointIndex = 0; pointIndex < points.Count; pointIndex++)
            {
                sumX += points[pointIndex].X * multipliers[pointIndex, currentStep];
                sumY += points[pointIndex].Y * multipliers[pointIndex, currentStep];
            }

            Point newPoint = new Point((int)Math.Round(sumX), (int)Math.Round(sumY));

            if (previousPoint.HasValue)
                e.Graphics.DrawLine(Pens.Black, previousPoint.Value, newPoint);

            previousPoint = newPoint;
        }

        for (int pointIndex = 0; pointIndex < this.points.Count; pointIndex++)
        {
            Point point = this.points[pointIndex];
            e.Graphics.FillRectangle(Brushes.Black, new Rectangle(point.X - 1, point.Y - 1, 2, 2));
        }
    }

    protected override void OnMouseClick(MouseEventArgs e)
    {
        base.OnMouseClick(e);

        if (e.Button == MouseButtons.Left)
        {
            this.points.Add(e.Location);
        }
        else
        {
            this.points.RemoveAt(this.points.Count - 1);
        }

        this.PrecomputeMultipliers();
        this.Invalidate();
    }

    private void numberOfSegmentsUpDown_ValueChanged(object sender, EventArgs e)
    {
        this.numberOfSegments = (int)this.numberOfSegmentsUpDown.Value;
        this.PrecomputeMultipliers();
        this.Invalidate();
    }
}