在java.util.DualPivotQuicksort中，出现以下代码行：
// Inexpensive approximation of length / 7
int seventh = (length >> 3) + (length >> 6) + 1;
变量length 是一个大于或等于47 的int。
我熟悉带符号右移运算符的工作原理。但我不知道为什么这些特定的操作会导致除以 7 的近似值。有人可以解释一下吗？
【问题讨论】：
标签： java math bit-manipulation bit-shift
>> 是位移位。你向右移动的每一位，实际上都除以 2。
因此，(length >> 3) 是 length/8（向下舍入），(length >> 6) 是 length/64。
取(length/8)+(length/64) 大约是length*(1/8+1/64) = length*0.140625（大约）
1/7 = 0.142857...
末尾的+1 可以拆分为每个术语的+0.5，这样length/8 会四舍五入到最近（而不是向下），length/64 也四舍五入到最近。
一般来说，您可以轻松地逼近1/y，其中y = 2^n+-1 使用类似的位移逼近。
无限几何级数是：
1 + x + x^2 + x^3 + ... = 1 / (1 - x)
乘以 x：
x + x^2 + x^3 + ... = x/(1 - x)
并替换为x = 1/2^n
1/2^n + 1/2^2n + 1/2^3n + ... = (1/2^n) / (1 - 1/2^n)
1/2^n + 1/2^2n + 1/2^3n + ... = (1/2^n) / ((2^n - 1)/2^n)
1/2^n + 1/2^2n + 1/2^3n + ... = 1 / (2^n - 1)
这近似于y = 2^n - 1。
要近似 y = 2^n + 1，请替换为 x = -1/2^n。
- 1/2^n + 1/2^2n - 1/2^3n + ... = (-1/2^n) / (1 + 1/2^n)
1/2^n - 1/2^2n + 1/2^3n - ... = (1/2^n) / ((2^n + 1)/2^n)
1/2^n - 1/2^2n + 1/2^3n - ... = 1 / (2^n + 1)
然后将无限级数截断到所需的精度。
【讨论】：
在众所周知的等式中设置x = 1/8
1 + x + x^2 + x^3 + ... = 1 / (1 - x)
并简化，给出
1/8 + 1/64 + 1/512 + ... = 1/7
在您的示例中，将其两边乘以 length，得到 p>
length / 7 = length / 8 + length / 64 + length / 512 + ...
请注意，这是“精确”除法，而不是整数除法 - 我正在编写数学，而不是 Java 代码。
然后近似值假设第三项和后续项太小而无所谓，平均而言，length / 8 和length / 64 中的一项可能需要向上取整，而不是向下取整。所以，现在使用整数除法，length / 7 = length / 8 + length / 64 + 1 是一个非常好的近似值。
如果length 是正数，您使用位运算符给出的表达式只是另一种写法。
【讨论】：
为 ronalchn 的回答添加数学背景：
由于7=8-1=8*(1-1/8)，几何级数除以7等于乘以
1/7 = 1/8·(1+1/8+1/8²+1/8³+…) = 1/8+1/8²+1/8³+…
要对除以 5 做同样的事情，可以使用 3·5=16-1，因此
1/5 = 3/16·(1+1/16+1/16²+…)
这会邀请像
这样的公式(3*n)<<4 + (3*n) << 8 + 1
【讨论】：
1/5，乘法不一定便宜，所以更好的近似值可能是1/4-1/16+1/64-1/256+...
计算所有的值
n/8 + n/64 - n/7
误差线性增长，同时保持负数。
下面的列表显示给定错误首次出现的时间
n = 7 e = -1
n = 63 e = -2
n = 511 e = -3
n = 959 e = -4
n = 1407 e = -5
n = 1855 e = -6
n = 2303 e = -7
n = 2751 e = -8
n = 3199 e = -9
n = 3647 e = -10
n = 4095 e = -11
n = 4543 e = -12
n = 4991 e = -13
n = 5439 e = -14
n = 5887 e = -15
n = 6335 e = -16
n = 6783 e = -17
n = 7231 e = -18
n = 7679 e = -19
n = 8127 e = -20
n = 8575 e = -21
n = 9023 e = -22
n = 9471 e = -23
n = 9919 e = -24
...
比例明显趋于1/448 = 1/8 + 1/64 - 1/7。
【讨论】：