如何思考 Python 的负数按位运算？

Question

我发现很难考虑 Python（和 Python3）的无限精度负数和按位运算。它不是 32 位或 64 位的。左边的1s 可以认为是“无限多”。它不是很确定，这就是为什么有时很难考虑它是如何工作的。

似乎一种可行的方法是：总是做得更多，例如，如果您正在处理具有 67 位的正整数，那么只需将它们与负数的运算视为具有 96 位或 128 位-少量。这是一个正确的思考方式吗？规范中有什么说明它是如何工作的或应该考虑的吗？ （比如内部实现只考虑正整数，只考虑负数为“左多1位”？）

Answer 1

您应该将它们视为具有无限多个 1 位。在摘要中，two's complement 二进制表示有无限多个 1；并不是说可以根据需要添加更多的 1，而是那些 1已经是数字表示方式的一部分。

那些无限多的位实际上并未存储在内存中这一事实是一个实现细节，因此当您考虑这一点时，您应该忽略内存的限制，直到您遇到您 em> 是必须编写实现的人。如果您只是想从概念上理解这一点，则无需考虑后备位之类的事情，而且我认为这不一定有帮助。

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二进制数表示2的幂的和，例如：

11001₂ = 2⁴ + 2³ + 0 + 0 + 2⁰

数字-1由1的无限序列表示，向左无限延伸：

...1111₂ = ... + 2³ + 2² + 2¹ + 2⁰

这在通常意义上的无限级数中是无稽之谈，但有充分的理由将结果定义为 -1。最直观吸引人的原因是，当您按照加法算法向其添加 1 时会发生什么：

  ...111111111
+            1
  ――――――――――――
= ...000000000 (result)
  ――――――――――――
  ...11111111  (carry)

在最右边的列中，您有 1 + 1，即 2，或二进制的 10₂，因此您写入 0 并将 1 带到左侧的下一列。然后在该列中你有一个 1 加上携带的 1，所以你写 0 并携带另一个 1...等等，ad infinitum。结果在每个位置都有一个 0。因此，...11111₂ 一定代表了 -1，因为我们按照算法加 1，得到了 0 的表示。

如果这还不够令人满意，那么还有其他原因应该将 ...11111₂ 解释为 -1 的表示：

• 无穷和 1 + 2 + 4 + 8 + ... 是一个几何级数；具有恒定比率 r 的几何级数的公式是 1/(1 - r)。这个公式只适用于 -1 
• 无限和 1 + 2 + 4 + 8 + ... 实际上确实在 2-adic norm 中收敛到 -1。
• 结果 -1 也可以通过其他定义获得，包括 Euler summation 和 as noted by Wikipedia 任何同时稳定和线性的求和方法将这个总和关联起来结果为 ∞ 或 -1。

我提到这些也是因为它们暗示某些属性仍然适用于算术；将常用的加法、减法和乘法算法应用到“无穷大”可以得到符合算术通常属性的合理结果，如结合性、交换性和分布性。

Answer 2

无限精度的实现方法有很多，但你应该在这里提出你的实际情况才能得到答案。

我也不认为你不理解左边无限多个 1 的概念。 正整数：将未保存的位回退到 0，从最低意义保存所有 1 位 负整数：将未保存的位回退到 1，从最低意义保存所有 0 位

当您需要对 2 个无限精度的位进行逐位运算时，您也只需对后备位进行操作即可。 示例：

-25 ^ -1029
-25 = -1 - 8 - 16: 11100(+infinitely many unsaved 1's beyond these 5 saved bits)
-1029 = -1 - 4 - 1024: 11011111110(+infinitely many unsaved 1's beyond these 11 saved bits)
Take XOR, you have to fill more 1's to align the longer one. So it is:
11100111111(+infinitely many unsaved 1's beyond this)
^
11011111110(+infinitely many unsaved 1's beyond this)
=
00111000001(+infinitely many unsaved 0's beyond this)
= 4 + 8 + 16 + 1024 = 1052

根据您的问题，我认为您并不真正需要有关 Python 如何实现此功能的技术细节......