在没有算术运算符的情况下计算 x * y

Question

我目前正在使用 python 进行“编程面试要素”，并且已经在这部分卡住了 3 天。下面的代码只是简单地将两个数字相乘而不使用任何运算符；作者给出的解释如下：

“小学教的十进制乘法算法确实 不要使用重复的加法——它使用 shift 和 add 来实现很多 更好的时间复杂度。我们可以对二进制数做同样的事情-to 将 x 和 y 相乘，我们将结果初始化为 0 并遍历 x 的位，如果 r 的第 k 位为 1，则将 2ky 添加到结果中。 值 (2^k)*y 可以通过将 y 左移 k 来计算。既然我们不能 直接使用add，我们必须实现它。我们申请小学 二进制情况的加法算法，即计算总和 一点一点，并“涟漪”随身携带。”

def multiply(x, y):
    def add(a, b):
        running_sum, carryin, k, temp_a, temp_b = 0, 0, 1, a, b

        while temp_a or temp_b:
            ak, bk = a & k, b & k
            carryout = (ak & bk) | (ak & carryin) | (bk & carryin)
            running_sum |= ak ^ bk ^ carryin
            carryin, k, temp_b, temp_b = (
                carryout << 1, k << 1, temp_a >> 1, temp_b >> 1)

        return running_sum | carryin

    running_sum = 0
    while x:  # Examines each bit of x
        if x & 1:
            running_sum = add(running_sum, y)
        x, y = x >> 1, y << 1

    return running_sum


print(multiply(2, 2))

我的问题是：

1. 变量“ak”和“bk”的用途是什么
2. 进位变量发生了什么；为什么我们对 (ab & bk, ak & carry and bk & carryin) 使用按位与运算符，然后使用按位或？
3. 变量“running_sum”如何使用按位异或和按位或来跟踪总和？
   4. 我们为什么要返回“running_sum | carryin”

如果能帮助您理解此代码，我们将不胜感激。提前致谢。

Answer 1

在add 中，我们将两个二进制数逐位相加。

• k 是我们正在查看的位。
• ak 和 bk 是 k-th 位 a 和 b 的值
• 如果先前的ak、bk 或先前的进位 (carryin) 中至少有两个为 1，则下一个数字的进位将为 1。因此，carryout = (ak & bk) | (ak & carryin) | (bk & carryin)
• 在k-th 数字中，如果ak、bk 或carryin 的奇数为1，我们得到1。因此，ak ^ bk ^ carryin。由于我们只得到一位，我们可以通过应用 OR 将其添加到 running_sum。
• 最后，当a 和b 用尽时（我们达到了它们的最高有效位），我们仍然需要注意可能剩余的进位标志。因此，running_sum | carryin。